[论文解读] The trace formula for transversally elliptic operators on Riemannian foliations

Yuri A. Kordyukov|ArXiv.org|Jan 31, 2000

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文将杜斯特定-吉约梅迹公式推广至紧致黎曼叶状丛上的横截椭圆算子。通过分析横截余切丛上的双特征线流，并结合全息不变符号与马苏洛夫指标，作者推导出算子 $ P = \sqrt{A} $ 的迹公式，其中 $ A $ 是一个具有全息不变主符号的正定、横截椭圆、自伴伪微分算子。

ABSTRACT

We prove a Duistermaat-Guillemin trace formula for transversally elliptic operators on a compact foliated manifold.

研究动机与目标

• 将经典的杜斯特定-吉约梅迹公式推广至紧致叶状流形上的横截椭圆算子设置。
• 为 $ P = \sqrt{A} $ 建立迹公式，其中 $ A $ 是一个正定、横截椭圆、自伴伪微分算子，且其横截主符号具有全息不变性。
• 将几何不变量（如庞加莱映射与马苏洛夫指标）纳入叶状空间的迹公式中。
• 为基于叶状空间 $ M/\mathcal{F} $ 的奇异空间构造杜斯特定-吉约梅公式的相对版本。
• 为通过叶状结构在非交换几何中进一步发展迹公式奠定基础。

提出的方法

• 使用伪微分算子 $ A \in \Psi^2(M, |TM|^{1/2}) $ 的横截主符号 $ \sigma_A $，其定义在法丛 $ \tilde{N}^*\mathcal{F} $ 上，以确保横截椭圆性。
• 应用由主符号 $ p $ 生成的 $ T^*M \setminus 0 $ 上的双特征线流 $ f_t $，以识别迹分布的奇点支集。
• 引入 $ \sigma_A $ 的全息不变性条件，确保对所有叶状路径 $ \gamma $，有 $ \sigma_A(dh_\gamma^*\nu) = \sigma_A(\nu) $，以保持几何一致性。
• 通过解哈密顿-雅可比方程 (5.1) 的生成函数 $ \chi(t,x,y,\xi,\eta) $ 的振荡积分，构造算子 $ R(k)W $ 的施瓦茨核。
• 通过在辛向量空间 $ \mathcal{V} $ 中的拉格朗日子流形上使用限制与约化映射，计算分布 $ \theta_k $ 的半密度主符号。
• 定义马苏洛夫因子 $ \sigma(\gamma,\nu) = \mathrm{sgn}\, R_{(\gamma,\nu)} + 2\kappa_{(\gamma,\nu)} $，其中 $ \kappa_{(\gamma,\nu)} $ 是拉格朗日格拉斯曼流形中一条闭合曲线与水平子空间的交数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将杜斯特定-吉约梅迹公式推广至黎曼叶状丛上的横截椭圆算子？
• RQ2 横截主符号的全息不变性在确保奇异叶状空间上迹公式的几何一致性中起什么作用？
• RQ3 在叶状流形与横截动力学的背景下，马苏洛夫指标如何定义与计算？
• RQ4 迹分布 $ \theta_k $ 的施瓦茨核的微局部结构是什么？它与双特征线流的几何有何关联？
• RQ5 能否以庞加莱映射与横截测度形式表达 $ P = \sqrt{A} $ 的迹公式？

主要发现

• 迹分布 $ \theta(f) = \mathrm{tr}\, U_f $，其中 $ U_f = \int f(t) e^{itP} dt $，是 $ \mathbb{R} $ 上的分布，其奇点位于闭合横截双特征线流的周期集合中。
• 在清晰流假设下，$ \theta $ 在周期 $ T $ 附近的渐近展开涉及庞加莱映射与马苏洛夫指标，主项由横截测度与全息不变符号决定。
• 渐近展开中的主系数 $ \alpha_{j,0} $ 由 $ |dt|^{1/2} \otimes d\mu_{\mathcal{Z}_j} $ 给出，其中 $ d\mu_{\mathcal{Z}_j} $ 是周期轨道集 $ \mathcal{Z}_j $ 上的横截测度。
• 马苏洛夫因子 $ \sigma(\gamma,\nu) $ 在闭合横截双特征线集合上局部为常数，其计算方式为矩阵 $ R_{(\gamma,\nu)} $ 的符号与两倍交数 $ \kappa_{(\gamma,\nu)} $ 之和。
• 分布 $ \theta_k $ 的半密度主符号计算为 $ \sigma_l(\theta_k) = e^{i\int_0^t \sigma_{\text{sub}}(P)(f_{-s} dh_\gamma^*\nu) ds} R_\mathcal{Z} \pi_G^* k $（叶状分量）与 $ \sigma_t(\theta_k) = |dt|^{1/2} \otimes d\mu_{\mathcal{Z}_j} $（横截分量）。
• 该公式为叶状空间 $ M/\mathcal{F} $ 的奇异几何提供了杜斯特定-吉约梅迹公式的相对版本，在非交换几何中有应用。