[论文解读] The trace of Hecke operators on the space of classical holomorphic Siegel modular forms of genus two

Rainer Weissauer|ArXiv.org|Sep 9, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 16

一句话总结

本文利用迹公式和自守表示理论，计算了全Siegel模群上二型经典全模形式的Hecke算子的迹。关键结果将迹表示为平展上同调、Eisenstein上同调以及与椭圆全模形式相关的Galois表示上的Frobenius迹，从而证实了[FG]对正则权的猜想。

ABSTRACT

We prove multiplicity one for vector valued holomorphic Siegel modular forms of weights greater or equal to 3 and the full Siegel modular group and give a trace formula for the action of the Hecke operators T(p) in the regular cases.

研究动机与目标

• 计算全Siegel模群上二型全模形式空间的Hecke算子迹。
• 通过迹公式将此迹与Shimura簇的上同调及Galois表示联系起来。
• 证实[FG]关于正则权下自守上同调的Euler示性数的猜想4.1。
• 将模空间A₂的上同调分解为Eisenstein、CAP、余正规及非CAP全模形式相关分量。

提出的方法

• 对群GSp(4,𝔸)应用[W1]–[W3]中的迹公式，以分析Siegel全模形式上Hecke算子的迹。
• 利用上同调H₆c(A₂, V_λ)分解为Eisenstein、CAP、余正规及非CAP(00)分量。
• 依赖Eichler-Shimura同构，将A₁的上同调与权r₂的椭圆全模形式联系起来。
• 利用上同调离散系列表示与权(k₁,k₂)（k₁ ≥ k₂ ≥ 3）的全模自守表示之间的识别。
• 应用弱余正规提升与CAP表示理论，以分离非CAP形式的贡献。
• 利用迹公式将T(p)的迹表达为上同调与Galois表示上Frobenius迹的组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用自守与Galois理论方法计算二型Siegel全模形式上Hecke算子的迹？
• RQ2 模空间A₂的上同调如何精确分解为Eisenstein、CAP、余正规及非CAP分量？
• RQ3 迹公式是否对正则权下自守上同调的Euler示性数证实了[FG]的猜想4.1？
• RQ4 与椭圆全模形式相关的Galois表示在二型Siegel全模形式上Hecke算子迹中起什么作用？
• RQ5 对于正则权，Shimura簇M的上同调在GSp(4,𝔸_f)作用下如何分解？

主要发现

• 对于权(k₁,k₂)满足k₁ > k₂ > 3的Siegel全模形式空间，Hecke算子T(p)的迹由上同调、Galois表示及Eisenstein贡献上的Frobenius迹组合公式给出。
• 对于正则权k₁ > k₂ > 3，Eisenstein上同调H_E^•(M,V_λ)消失，从而简化了迹公式。
• 非CAP全模上同调分量H_00^•(M,V_λ)贡献一个秩为4·dim_ℂ([Γ₂,ρ]_00)的动机，证实了[FG]预测的动机结构。
• T(p)迹的公式包含一项涉及Galois表示ρ₂与特征ν_l^{k₂−2}张量积上Frobenius迹的项，其权重为权r₁的椭圆全模形式空间的维数。
• Euler示性数e_c(A₂, V_λ)分解为e_Eis、e_E、e_endo与e_00分量，其中e_00对应非CAP全模形式。
• 结果通过显示迹公式与正则权下预测的L-函数行为一致，从而证实了[FG]的猜想4.1。