[论文解读] The tracial Rokhlin property is generic

N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 12

一句话总结

本文证明了在某些C*-代数上，具有迹Rokhlin性质的自同构是典型的——即构成一个稠密的Gδ子集——这些C*-代数包括在与Jiang-Su代数Z或Cuntz代数𝒪∞张量积下稳定的代数，或与无限型UHF代数张量积下稳定的代数。该结果在类似稳定性条件下可推广至有限群作用，使用Baire范畴论证，并通过使用正元素替代投影来实现Rokhlin型构造，因为Z代数中不存在投影。

ABSTRACT

We prove several results of the following general form: automorphisms of (or actions of ${\mathbb{Z}}^d$ on) certain kinds of simple separable unital C*-algebras $A$ which have a suitable version of the Rokhlin property are generic among all automorphisms (or actions), or in a suitable class of automorphisms. That is, the ones with the version of the Rokhlin property contain a dense $G_δ$-subset of the set of all such automorphisms (or actions). Specifically, we prove the following. If $A$ is stable under tensoring with the Jiang-Su algebra $Z,$ and has tracial rank zero, then automorphisms with the tracial Rokhlin property are generic. If $A$ has tracial rank zero, or, more generally, $A$ is tracially approximately divisible together with a technical condition, then automorphisms with the tracial Rokhlin property are generic among the approximately inner automorphisms. If $A$ is stable under tensoring with the Cuntz algebra ${\mathcal{O}}_{\infty}$ or with a UHF algebra of infinite type, then actions of ${\mathbb{Z}}^d$ on $A$ with the Rokhlin property are generic among all actions of ${\mathbb{Z}}^d.$ We further give a related but more restricted result for actions of finite groups.

研究动机与目标

• 证明在特定类别的C*-代数中，具有迹Rokhlin性质的自同构是典型的。
• 将Rokhlin性质的概念推广至无投影的代数（如Jiang-Su代数Z），使用正元素。
• 通过Baire范畴方法，证明ℤ^d或有限群在稳定C*-代数上的作用若具有Rokhlin性质，则是典型的。
• 提供一个拓扑解释，说明为何许多构造出的C*-代数具有实秩零和唯一迹态。

提出的方法

• 在Aut(A)上使用逐点算子范数收敛的拓扑，以及在作用上使用乘积拓扑，这些空间均为完备度量空间。
• 定义开集W(F,ε)，包含满足使用正元素或投影的近似Rokhlin条件的自同构或作用。
• 应用Baire范畴定理，证明稠密开集的交集构成一个稠密的Gδ集合，即Rokhlin型自同构的集合。
• 通过矩阵代数中的循环移位构造Rokhlin塔，并利用满足与恒等映射渐近酉等价的同构φ: D^⊗d ⊗ A → A。
• 利用稳定性条件（如Z⊗A ≅ A，𝒪∞⊗A ≅ A，D⊗A ≅ A）将代数结构中的Rokhlin型性质提升至自同构群。
• 使用有限群的左正则表示和矩阵单位，定义在矩阵代数上的群作用，使其可提升至C*-代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有迹秩零的Z-稳定C*-代数的所有自同构空间中，具有迹Rokhlin性质的自同构是否是典型的？
• RQ2 能否通过使用正元素，将Rokhlin性质推广至无投影的C*-代数（如Jiang-Su代数）？
• RQ3 在𝒪∞或UHF-稳定C*-代数上，ℤ^d作用中具有Rokhlin性质的集合是否在所有此类作用空间中稠密且为Gδ？
• RQ4 在D^∞-稳定C*-代数上，有限群作用中具有Rokhlin性质的集合是否构成所有此类作用空间中的稠密Gδ子集？
• RQ5 能否在自同构和作用的完备度量空间中，使用Baire范畴论证确立Rokhlin性质的典型性？

主要发现

• 对于任意简单、分划、有单位元的C*-代数A，若其迹秩为零且满足Z⊗A ≅ A，则具有迹Rokhlin性质的自同构集合是Aut(A)中的稠密Gδ子集。
• 若A是迹近似可除的（满足技术条件，如迹秩为零），则具有迹Rokhlin性质的迹内自同构集合是Inn(A)闭包中的稠密Gδ子集。
• 对于任意分划、有单位元的C*-代数A，若满足𝒪∞⊗A ≅ A或D⊗A ≅ A（其中D为无限型UHF代数），则具有Rokhlin性质的自同构集合是Aut(A)中的稠密Gδ子集。
• 该结果可推广至ℤ^d作用：对于此类A，具有Rokhlin性质的作用集合是A上所有ℤ^d作用空间中的稠密Gδ子集。
• 对于D^∞-稳定C*-代数上的有限群作用，具有Rokhlin性质的作用集合是所有此类作用空间中的稠密Gδ子集。
• 证明依赖于在矩阵代数中构造Rokhlin塔，并利用张量积同构的渐近酉等价性，将Rokhlin性质从代数结构提升至C*-代数层面。