[论文解读] The Transfer Matrix Method and The Theory of Finite Periodic Systems. From Heterostructures to Superlattices

Pedro Pereyra|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2021

Quantum and electron transport phenomena参考文献 245被引用 22

一句话总结

本文提出了一套针对有限周期系统（如超晶格和异质结构）的严格传输矩阵形式化方法，全面考虑了系统有限性、任意势能分布以及多种传播模式。该方法推导出适用于任意单元层数的本征值、本征态、共振态及离散色散关系的解析解，其理论预测在光子学与电子学实验中展现出高精度。

ABSTRACT

Long-period systems and superlattices, with additional periodicity, have new effects on the energy spectrum and wave functions. Most approaches adjust theories for infinite systems, which is acceptable for large but not small number of unit cells $n$. In the past 30 years, a theory based entirely on transfer matrices was developed, where the finiteness of $n$ is an essential condition. The theory of finite periodic systems (TFPS) is also valid for any number of propagating modes, and arbitrary potential profiles (or refractive indices). We review this theory, the transfer matrix definition, symmetry properties, group representations, and relations with the scattering amplitudes. We summarize the derivation of multichannel matrix polynomials (which reduce to Chebyshev polynomials in the one-propagating mode limit), the analytical formulas for resonant states, energy eigenvalues, eigenfunctions, parity symmetries, and discrete dispersion relations, for superlattices with different confinement characteristics. After showing the inconsistencies and limitations of hybrid approaches that combine the transfer-matrix method with Floquet's theorem, we review some applications of the TFPS to multichannel negative resistance, ballistic transistors, channel coupling, spintronics, superluminal, and optical antimatter effects. We review two high-resolution experiments using superlattices: tunneling time in photonic band-gap and optical response of blue-emitting diodes, and show extremely accurate theoretical predictions.

研究动机与目标

• 开发一个完整的有限周期系统理论框架，避免依赖无限系统定理的近似。
• 解决将传输矩阵与布洛赫/弗洛quet定理结合用于有限系统的混合方法中的不一致性问题。
• 为多通道超晶格中的能量本征值、本征态及透射系数提供解析解。
• 建立适用于任意单元层数、任意势能或折射率分布以及多种传播模式的理论形式化方法。
• 展示该理论在光子学与电子学超晶格中对高分辨率实验数据的高精度预测能力。

提出的方法

• 完全基于传输矩阵的形式化方法，避免依赖布洛赫或弗洛quet定理。
• 推导出推广单模极限下切比雪夫多项式的多通道矩阵多项式。
• 利用群表示理论将传输矩阵划分为紧致与非紧致子群。
• 通过解析推导获得离散色散关系、宇称对称性及共振态条件。
• 通过精确矩阵关系将传输矩阵与散射振幅及透射/反射系数关联。
• 将该形式化方法应用于推导具有不同限制势能的超晶格的能量本征值与本征态。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不假设无限周期性的情况下，精确描述有限超晶格的能量谱与波函数？
• RQ2 在多通道有限周期系统中，共振态与离散色散关系的解析条件是什么？
• RQ3 为何将传输矩阵与弗洛quet定理结合的混合方法在有限系统中失效？
• RQ4 传输矩阵的对称性性质与群结构如何影响有限超晶格中的物理解？
• RQ5 该形式化方法在多大程度上能以高精度预测光子学与电子学超晶格的实验结果？

主要发现

• 该理论为具有任意势能分布及任意传播模式数的有限超晶格提供了能量本征值与本征态的精确解析表达式。
• 该方法正确预测了离散子带与表面态能量，避免了无限系统近似中出现的连续子带。
• 高精度的理论预测已通过高分辨率实验得到验证，包括光子带隙结构中的隧穿时间测量与氮化镓基蓝光超晶格的光学响应。
• 该形式化方法揭示：与克拉默斯本征值论证及弗洛quet定理相容的传输矩阵属于紧致子群，意味着单位透射与零反射——这与有限系统的物理实际不一致。
• 该理论解决了长期存在的将有限系统视为无限系统所导致的不一致问题，表明布洛赫函数并非有限周期系统的本征函数。
• 所推导的矩阵多项式在单模极限下退化为切比雪夫多项式，证实了在简单情形下与已知结果的一致性。