[论文解读] The transformation laws of algebraic theta functions

Luca Candelori|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文通过引入theta下降结构、元刻度丛与半形式丛，建立了一个代数几何框架，用于描述theta函数的变换律，最终在阿贝尔概形模堆栈上建立了Weil丛与对偶theta常数丛之间的典范同构。关键结果为定理4.2.1，其提供了经典变换律的代数类比，通过Weil表示统一了半整数权的模形式与向量值模形式。

ABSTRACT

We give a comprehensive treatment of the transformation laws of theta functions from an algebro-geometric perspective, that is, in terms of moduli of abelian schemes. This is accomplished by introducing geometric notions of theta-descent structures, metaplectic stacks, and bundles of half-forms, whose analytic incarnations underlie different aspects of the classical transformation laws. As an application, we lay the foundations for a geometric theory of modular forms of half-integral weight and, more generally, for modular forms taking values in the Weil representation. We discuss further applications to the algebraic theory of Jacobi forms and to the theory of determinant bundles of abelian schemes.

研究动机与目标

• 为经典theta函数变换律提供一个几何的、代数几何的解释，这些变换律历史上依赖于解析方法与元刻度群这一神秘的‘神来之笔’。
• 通过代数堆栈与theta下降结构，发展半整数权模形式的理论，独立于显式的theta函数或其除子。
• 通过在模堆栈上构造Weil丛与对偶theta常数丛之间的典范同构，将theta函数的解析变换律与代数几何统一起来。
• 将Eichler-Zagier同构推广至高亏格与任意类型，为Jacobi形式与阿贝尔概形的行列式丛提供代数基础。

提出的方法

• 引入‘theta下降结构’作为阿贝尔概形上的弱化水平结构，使在同源下对线丛下降的控制成为可能，其与完整theta结构不同。
• 构造元刻度丛作为辛群元刻度覆盖的几何类比，对编码半整数权模形式至关重要。
• 定义半形式丛，并利用theta乘子丛构造Weil丛，其截面携带Weil表示。
• 在具有偶类型极化δ的阿贝尔概形模堆栈A_g,δ上，建立Weil丛W_g,δ与对偶theta常数丛J∨_g,δ之间的典范代数同构ι_alg。
• 证明ι_alg的解析化（与ℂ张量）与theta函数的经典变换律一致，通过Riemann-Jacobi theta函数的函数方程实现。
• 将主同构应用于推导向量值模形式的代数类比，并将Eichler-Zagier同构推广至高亏格与任意指标。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在纯粹代数几何框架下理解theta函数的变换律，而无需依赖解析延拓或复分析？
• RQ2 元刻度群在theta函数变换理论中的几何作用是什么？如何通过堆栈与线丛形式化这一作用？
• RQ3 能否从模问题本身内在地构造半整数权模形式，而无需参考theta函数或其除子？
• RQ4 Weil表示如何自然地从代数几何中浮现？其在模堆栈上向量丛中的几何实现是什么？
• RQ5 Eichler-Zagier同构在Jacobi形式与半整数权模形式之间的代数推广形式为何？

主要发现

• 定理4.2.1在具有偶类型极化δ的阿贝尔概形模堆栈A_g,δ上，建立了Weil丛W_g,δ与对偶theta常数丛J∨_g,δ之间的典范代数同构ι_alg。
• ι_alg的解析化（与ℂ张量）与theta函数的经典变换律一致，证明ι_alg正是这些变换律的精确代数类比。
• 同构ι_alg提供了一种全新的、纯粹模形式的构造方法，用于半整数权模形式，推广了Shimura理论与Ramsey的p进类比至高亏格与任意类型。
• 该同构退化为Eichler-Zagier同构的推广，建立了指标为m/2、权为k的Jacobi形式与取值于W∨_g,δ的权为k−1/2的模形式之间的典范对应。
• 对同构两边取行列式，得到det(W∨_g,δ) ≃ det(J_g,δ) ⊗ ω^−d/2，且右边的平方被识别为行列式丛Δ_g,δ，从而为计算其在Pic(A_g,δ)中的阶提供了一条新的代数路径。
• 证明了行列式丛Δ_g,δ的阶与(det W∨_g,δ)^⊗2的阶一致，为[8]中Δ_g,δ的解析计算提供了代数对应，从而统一了几何与解析方法。