[论文解读] The tree of decomposition of a biconnected graph

D. V. Karpov|arXiv (Cornell University)|May 28, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对双连通图的新颖分解树结构，基于k-顶点割集分解的组成部分，推广了图灵特针对2-顶点割集的结构树。该方法构建了一棵树，其中节点代表分解的各个部分，从而实现对色数和选择数的精确界限，并完全刻画了临界双连通图：即在任意部分块或部分三角形中均无内部顶点的图。

ABSTRACT

The tree of decomposition of a $k$-connected graph by a set $\mathfrak S$ of pairwise independent $k$-vertex cutsets is defined as follows. The vertices of this tree are cutsets of $\mathfrak S$ and parts of decomposition of the graph by the set $\mathfrak S$, each cutset is adjacent to all parts that contain it. We prove, that the graph described above is a tree. The tree of decomposition of a biconnected graph is a particular case of this construction: it is the tree of decomposition of a biconnected graph by the set of all its single cutsets (i.e. 2-vertex cutsets, that are independent with all other 2-vertex cutsets). We show that this tree has much in common with the classic tree of blocks and cutpoints of a connected graph. With the help of the tree of decomposition of a biconnected graph we prove a planarity criterium and find some upper bounds on the chromatic number of this graph. Finally, we study the structure of critical biconnected graphs and prove that each such graph has at least four vertices of degree 2.

研究动机与目标

• 开发一种基于树的双连通图分解结构，将经典的块-点树推广至2-顶点割集情形。
• 为分析双连通图中成对独立的2-顶点割集的结构布局提供一个框架。
• 利用分解树推导双连通图色数和选择数的紧致界限。
• 通过识别在不破坏双连通性前提下无法移除任何顶点的结构条件，对临界双连通图进行完全刻画。
• 证明临界双连通图的所有部分块与部分三角形均具有空内部，且至少存在四个度为2的顶点。

提出的方法

• 本文定义了基于图G的所有2-顶点割集集合R₂(G)的双连通图分解，构造出部分A ∈ Part(R₂(G))，使得任一割集均不将A分割，但每个位于A外部的顶点均被某个割集所分离。
• 每个部分A被划分为内部Int(A)（不属于任何割集的顶点）与边界Bound(A)（属于割集的顶点），其中Int(A)仅与A内部的顶点相邻。
• 构建一棵树BT(G)，其节点代表部分与割集，边连接包含该割集的部分，形成反映分层分解结构的树形结构。
• 通过任一子图G(A)的最大色数加一个较小的常数项来界定图G的色数χ(G)，即χ(G) ≤ max_A χ(G(A)) + 1。
• 选择数ch(G)也以类似方式界定：ch(G) ≤ max_A ch(G(A)) + 2，当各部分为环时可获得更精细的界限。
• 该结构被用于刻画临界双连通图：即所有部分块与部分三角形均具有空内部，且终端部分为长度至少为4的环，且仅有两个非度为2的顶点。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用树状结构系统地描述双连通图中2-顶点割集的相对布局？
• RQ2 基于由2-顶点割集分离出的部分，双连通图的色数的最紧致界限是什么？
• RQ3 能否利用分解部分的选择数及其分解树结构来界定双连通图的选择数？
• RQ4 从部分与割集的分解角度，临界双连通图的结构条件是什么？
• RQ5 临界双连通图中度为2的顶点的最小数量是多少？该数量与分解树有何关联？

主要发现

• 双连通图G的色数满足χ(G) ≤ max_{A∈Part(G)} χ(G(A)) + 1，且等号成立仅当最大值在具有非空内部的部分上取得。
• 选择数满足ch(G) ≤ max_{A∈Part(G)} ch(G(A)) + 2，且该界限是紧致的；当各部分为环时，加法项可减少至1。
• 若双连通图的所有部分均为环，则χ(G) ≤ 3，这为3-可图染色提供了充分条件。
• 双连通图G是临界的充分必要条件是其所有部分块与部分三角形均具有空内部，即不存在可移除而不破坏双连通性的顶点。
• 每个临界双连通图至少包含四个度为2的顶点，且该界限是紧致的，如4-环或仅含一个2-顶点割集的某些图所示。
• 临界双连通图的分解树中，终端部分为长度至少为4的环，其中割集中仅有两个顶点，其余所有顶点在G中度均为2。