[论文解读] The Tree Width of Separation Logic with Recursive Definitions

Radu Iosif, Adam Rogalewicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2013

Advanced Database Systems and Queries参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文提出了一种可判定的分离逻辑递归定义片段，称为 SLRD_btw，能够表达复杂的可变数据结构，如带父指针的树和带链接叶子的树。通过将公式翻译为有界树宽图上的二阶逻辑（MSO），作者通过归约为树自动机的空性问题，建立了满足性和蕴含关系的可判定性，从而提供了一种超越受限数据结构的一般性解决方案。

ABSTRACT

Separation Logic is a widely used formalism for describing dynamically allocated linked data structures, such as lists, trees, etc. The decidability status of various fragments of the logic constitutes a long standing open problem. Current results report on techniques to decide satisfiability and validity of entailments for Separation Logic(s) over lists (possibly with data). In this paper we establish a more general decidability result. We prove that any Separation Logic formula using rather general recursively defined predicates is decidable for satisfiability, and moreover, entailments between such formulae are decidable for validity. These predicates are general enough to define (doubly-) linked lists, trees, and structures more general than trees, such as trees whose leaves are chained in a list. The decidability proofs are by reduction to decidability of Monadic Second Order Logic on graphs with bounded tree width.

研究动机与目标

• 为解决分离逻辑中具有递归定义的表达性片段的可判定性这一长期悬而未决的问题。
• 将可判定性扩展至单向链表和树之外的更复杂数据结构，如双向链表和带父指针的树。
• 定义一个通用的逻辑片段，能够捕捉无界、动态分配的数据结构，同时保持可判定性。
• 为使用有界树宽性质的堆操作程序提供一个统一的自动化验证框架。
• 建立从 SLRD 到有界树宽图上可判定 MSO 逻辑的基于归约的方法。

提出的方法

• 定义片段 SLRD_btw，通过限制递归谓词定义，确保所有模型具有有界树宽。
• 构建从 SLRD_btw 公式到图结构上等价的二阶逻辑（MSO）公式的翻译。
• 将堆建模为有向图，其中节点代表内存单元，边代表指针和数据关系。
• 使用树自动机和 MSO 约束来编码递归谓词定义，以捕捉参数赋值和结构不变量。
• 利用模型的有界树宽性质，将满足性和蕴含问题归约为树自动机的空性问题。
• 通过 SLRD_btw 与 MSO 模型之间的类似双生关系，证明翻译的正确性，确保语义等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一个具有递归定义的分离逻辑通用片段，使得无界数据结构的满足性和蕴含关系可判定？
• RQ2 模型的有界树宽性质是否能实现对列表和树之外更丰富递归谓词的可判定性？
• RQ3 从 SLRD_btw 到 MSO 逻辑的翻译能否在保证可判定性的同时保持语义等价性？
• RQ4 是否可以将 SLRD_btw 中的满足性和蕴含问题归约为树自动机的空性问题？
• RQ5 SLRD_btw 在表达复杂数据结构（如 tll（带链接叶子的树）或双向链表）方面的表达能力如何？

主要发现

• SLRD_btw 片段在满足性和蕴含关系上均被证明是可判定的，将可判定性扩展至先前已知的受限片段之外。
• 该逻辑能够表达如带父指针的树和带链接叶子的树等复杂数据结构，这些结构在标准可判定片段中无法表达。
• 从 SLRD_btw 到有界树宽图上 MSO 逻辑的翻译是正确的，并保持了语义等价性。
• 通过将问题归约为树自动机的空性问题，实现了可判定性结果，利用了模型的有界树宽性质。
• 该方法为使用自动化推理验证操纵复杂堆分配数据结构的程序提供了一个统一框架。
• 决策问题的复杂度被推测为元素级复杂度，未来工作将建立紧致的上界。