[论文解读] The trinomial transform triangle

László Németh|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2018

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用 3

一句话总结

本文引入了三项式变换三角形，一种类似帕斯卡三角形的结构，其中每个条目是其上方三个条目的和。该研究通过三项式系数推广了二项式变换，证明主对角线产生序列的三项式变换。主要结果表明，三项式变换保持三元线性递推关系，且列和与交错和遵循显式递推关系，对斐波那契数列、三体数列和常数列等序列推导出闭式表达式。

ABSTRACT

The trinomial transform of a sequence is a generalization of the well-known binomial transform, replacing binomial coefficients with trinomial coefficients. We examine Pascal-like triangles under trinomial transform, focusing on the ternary linear recurrent sequences. We determine the sums and alternating sums of the elements in columns, and we give some examples of the trinomial transform triangle.

研究动机与目标

• 定义并形式化三项式变换三角形，作为二项式变换三角形的推广。
• 研究三元线性递推序列在三项式变换下的行为。
• 推导三项式变换三角形中列和与交错和的闭式表达式。
• 证明三元线性递推序列的三项式变换仍为三元线性递推序列。
• 提供特殊情形（斐波那契数列、三体数列、常数列、自然数列）下列和的显式例子与递推关系。

提出的方法

• 通过递归行构造定义三项式变换三角形 T：对 $ n \geq 1 $，有 $ a_k^n = a_{k-1}^{n-1} + a_k^{n-1} + a_{k+1}^{n-1} $，初始行定义为 $ a_k^0 = a_k $。
• 使用三项式系数 $ \binom{n}{i}_2 $，其定义为 $ (1+x+x^2)^n $ 中 $ x^i $ 的系数，将条目标示为 $ a_k^n = \sum_{i=k-n}^{k+n} \binom{n}{i-k+n}_2 a_i^0 $。
• 引入部分和三项式三角形 $ \left[ \binom{n}{k}_2 \right]_2 $，定义为每列中三项式系数的累积和。
• 利用部分和三项式三角形的对称性与递归恒等式推导求和公式。
• 应用生成函数技巧与递推分析，推导列和与交错和的恒等式。
• 通过特殊序列（斐波那契数列、三体数列、常数1、自然数列）的显式计算验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 三项式变换三角形如何推广二项式变换三角形？
• RQ2 三项式变换三角形的主对角线与初始序列的三项式变换之间有何关系？
• RQ3 三项式变换是否保持三元线性递推的性质？
• RQ4 能否为三项式变换三角形中每列元素的和与交错和推导出闭式表达式？
• RQ5 对于斐波那契数列、三体数列和常数列等特定初始序列，列和由何种递推关系控制？

主要发现

• 三项式变换三角形的主对角线恰好对应于初始序列 $ (a_k) $ 的三项式变换，条目为 $ a_k^k = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}_2 a_i $。
• 三元线性递推序列的三项式变换本身仍是三元线性递推序列；例如，斐波那契变换满足递推关系 $ s_n = 7s_{n-1} - 9s_{n-2} - 2s_{n-3} + 4s_{n-4} $（$ n \geq 4 $）。
• 对于常数列 $ a_k^0 = 1 $，列和 $ s_n = \sum_{i=0}^n \left[ \binom{n}{i}_2 \right]_2 = \frac{3^{n+1} - 1}{2} $，与 OEIS A003462 一致。
• 对于自然数列 $ a_k^0 = k $，列和为 $ s_n = \sum_{i=0}^n i \cdot \left[ \binom{n}{i}_2 \right]_2 = \frac{n \cdot (3^{n+1} - 1)}{2} $，与 OEIS A036290 一致。
• 对于常数列 $ a_k^0 = 1 $，交错列和为 $ \bar{s}_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i \cdot \left[ \binom{n}{i}_2 \right]_2 = \frac{3(-3)^n + 1}{4} $，与 OEIS A014983 一致。
• 对于三体数列，列和 $ s_n = \sum_{i=0}^n t_{n+2i} $ 满足六阶线性递推：$ s_n = 8s_{n-1} - 11s_{n-2} - 3s_{n-4} + 4s_{n-5} - s_{n-6} $（$ n \geq 6 $）。