[论文解读] The Triplet Vertex Operator Algebra W(p) and the Restricted Quantum Group at Root of Unity

Kiyokazu Nagatomo, Akihiro Tsuchiya|ArXiv.org|Feb 26, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 66

一句话总结

本文建立了三元组顶点算子代数 $W(p)$ 的模的阿贝尔范畴与在 $q = e^{/pi i/p}$ 处的受限量子群 $\bar{U}_q(sl_2)$ 的有限维模范畴之间的范畴等价，证明了 Feigin 等人长期以来的猜想。作者构造了简单 $W(p)$-模 $\mathcal{X}_s^\pm$ 的投射覆盖 $\mathcal{P}_s^\pm$，通过筛分算子分析其结构，并由此证明 $W(p)$-mod 与 $\bar{U}_q(sl_2)$-mod 作为阿贝尔范畴等价，块由 $s = 0, \dots, p$ 索引，且当 $1 \leq s \leq p-1$ 时具有非半单结构。这在对数共形场论中提供了类似 Kazhdan-Lusztig 的对应关系。

ABSTRACT

We prove the abelian category of the modules over triplet VOA W(p) is category equivalent to the abelian category of the modules over quantum algebra of type sl_2 at root of unity.

研究动机与目标

• 解决 Feigin 等人提出的猜想，即阿贝尔范畴 $W(p)$-mod 与受限量子群 $\bar{U}_q(sl_2)$ 在 $q = e^{\pi i/p}$ 处的有限维模范畴等价。
• 构造并分析简单 $W(p)$-模 $\mathcal{X}_s^\pm$ 的投射覆盖 $\mathcal{P}_s^\pm$，其中 $1 \leq s \leq p$。
• 通过块分解确定 $W(p)$-mod 的结构，表明当 $1 \leq s \leq p-1$ 时非半单，而当 $s = 0, p$ 时半单。
• 计算简单对象之间的 Ext$^1$ 群，并确定每个块中投射覆盖的自同态代数 $B_s$。

提出的方法

• 通过筛分算子 $Q_-^{[d_s^\varepsilon]}(z)$ 的迭代积分构造 $W(p)$-模 $\mathcal{P}_s^\pm$，推广了 Fjelsted 等人的方法。
• 利用来自 $Q_+(z)$ 和 $Q_-^{[d_s^\varepsilon]}(z)$ 的互化算子分析 Fock 空间表示与模结构。
• 通过证明 Ext$^1$ 群的消失性与 $T(0)$ 的非对角化性，证明 $\mathcal{P}_s^\pm$ 是 $\mathcal{X}_s^\pm$ 的投射覆盖。
• 通过 $\mathcal{P}_s^\pm$ 的结构确定 Zhu 代数 $A_0(W(p))$，从而实现 $W(p)$-mod 的块分解。
• 证明每个块中自同态代数 $B_s = \mathrm{End}_{C_s}(\mathcal{P}_s^+ \oplus \mathcal{P}_s^-)$ 同构于 $B(\bar{U})$，即 $\bar{U}_q(sl_2)$-mod 中投射覆盖的自同态代数。
• 应用等价性定理（命题 6-3），得出结论：$W(p)$-mod 与 $\bar{U}_q(sl_2)$-mod 是等价的阿贝尔范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在阿贝尔范畴 $W(p)$-mod 与受限量子群 $\bar{U}_q(sl_2)$ 在 $q = e^{\pi i/p}$ 处的有限维模范畴之间的范畴等价？
• RQ2 简单 $W(p)$-模 $\mathcal{X}_s^\pm$ 的投射覆盖 $\mathcal{P}_s^\pm$ 的结构是什么？
• RQ3 $W(p)$-mod 的块分解与 $\bar{U}_q(sl_2)$-mod 的块分解相比如何，特别是在半单性与 Ext$^1$ 群方面？
• RQ4 能否将 $W(p)$-mod 每个块中投射覆盖的自同态代数 $B_s$ 识别为量子群表示理论中已知的代数 $B(\bar{U})$？
• RQ5 在不可约 $W(p)$-模上，$T(0)$ 作用的若尔当块的最大长度是多少？

主要发现

• 阿贝尔范畴 $W(p)$-mod 允许块分解 $\bigoplus_{s=0}^p C_s$，其中 $C_0$ 与 $C_p$ 是半单的，各含一个简单对象，而当 $1 \leq s \leq p-1$ 时，$C_s$ 包含两个简单对象 $\mathcal{X}_s^+$ 与 $\mathcal{X}_s^-$。
• 简单模 $\mathcal{X}_s^\pm$ 的投射覆盖 $\mathcal{P}_s^\pm$ 是自对偶且内射的，且当 $1 \leq s \leq p-1$ 时，$\mathcal{P}_s^\pm$ 是 $\mathcal{X}_s^\pm$ 的投射覆盖。
• $C_s$ 中简单对象之间的 Ext$^1$ 群在 $1 \leq s \leq p-1$ 时非平凡，证实了 $C_s$ 不是半单的。
• 每个块中的自同态代数 $B_s = \mathrm{End}_{C_s}(\mathcal{P}_s^+ \oplus \mathcal{P}_s^-)$ 同构于 $B(\bar{U})$，即 $\bar{U}_q(sl_2)$-mod 中投射覆盖的 8 维自同态代数。
• 主要结果是范畴等价：$W(p)$-mod $\simeq \bar{U}_q(sl_2)$-mod，通过其块范畴的等价性与同构的自同态代数建立。
• $W(p)$-模 $M$ 的长度 $l(M)$ 满足 $l(M) \leq 1$，且任意满足 $l(M) = 1$ 的不可约模都同构于某个 $1 \leq s \leq p-1$ 的 $\mathcal{P}_s^\pm$。