[论文解读] The trivial lower bound for the girth of $S_n$

Sean Eberhard|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文建立了对由 $d \geq 2$ 个随机元素及其逆元生成的对称群 $S_n$ 的随机凯莱图的围长的非平凡下界 $\Omega(n^{1/3})$。通过概率群论与轨迹分析，本文界定了自由群中随机字映射到 $S_n$ 中单位元的概率，证明长度短于 $O(n^{1/3})$ 的此类关系极不可能出现，从而得出强于以往已知结果的下界。

ABSTRACT

Consider the Cayley graph of $S_n$ generated by a random pair of elements $x,y$. Conjecturally, the girth of this graph is $Ω(n \log n)$ with probability tending to $1$ as $n o\infty$. We show that it is at least $Ω(n^{1/3})$.

研究动机与目标

• 建立由 $d \geq 2$ 个随机元素及其逆元生成的 $S_n$ 的随机凯莱图围长的非平凡下界。
• 纠正先前声称的关于此类图的 $\Omega(\sqrt{n\log n})$ 围长下界证明中的缺陷。
• 对自由群中随机字映射到 $S_n$ 中单位元的可能性进行严格的概率分析。
• 证明围长以高概率至少为 $\Omega\left(\left(\frac{n}{\log(2d-1)}\right)^{1/3}\right)$。

提出的方法

• 采用基于轨迹的方法，分析随机字在 $\{1,\dots,n\}$ 元素上的作用，追踪字求值过程中图像序列的变化。
• 应用并集界估计轨迹在先前保持互异的条件下，未能保持单射或重新访问某点的概率。
• 通过递归构造 $m$ 个不相交的轨迹，界定向长度为 $k$ 的字 $w$ 在 $S_n$ 中求值为单位元的概率。
• 推导出关键不等式 $P_{S_n}(w) \leq \left(\frac{mk^2}{n - mk}\right)^m$（当 $m < n/k$ 时成立），并通过设定 $m = \lfloor n/(4k^2) \rfloor$ 实现最优。
• 将字的概率界与自由群中短字的计数相结合，界定向总非平凡关系的概率。
• 利用界 $P_{S_n}(w) \leq \exp(-cn/k^2)$，通过 $k$ 的指数衰减推导出最终的围长下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 $d \geq 2$ 个随机元素及其逆元生成的 $S_n$ 上随机凯莱图的围长，目前已知的最佳下界是什么？
• RQ2 为何文献 [2] 中声称的 $\Omega(\sqrt{n\log n})$ 围长下界证明失败？
• RQ3 是否可以使用基于轨迹的概率方法，在不需完全单射性的情况下建立非平凡的围长下界？
• RQ4 长度为 $k$ 的随机字在 $S_n$ 中求值为单位元的概率如何随 $k$ 和 $n$ 衰减？

主要发现

• 当 $n \to \infty$ 时，随机凯莱图 $\operatorname{Cay}(S_n, S)$ 的围长以高概率至少为 $\Omega(n^{1/3})$。
• 本文为 $d \geq 2$ 个生成元建立了 $\Omega\left(\left(\frac{n}{\log(2d-1)}\right)^{1/3}\right)$ 的下界。
• 长度为 $k$ 的随机字 $w$ 在 $S_n$ 中求值为单位元的概率至多为 $\exp(-cn/k^2)$，其中 $c > 0$ 为某常数。
• 该证明纠正了先前对 $\Omega(\sqrt{n\log n})$ 边界声称中的缺陷，该缺陷错误地假设了在缺乏单射性的情况下对返回起点概率的控制。
• 该方法依赖于追踪多个不相交的轨迹，并界定向碰撞或返回的概率，而非要求单个轨迹的完全单射性。