[论文解读] The triviality problem for profinite completions

Martin R. Bridson, Henry Wilton|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文证明了判断一个有限表示群是否具有非平凡的有限商群——或等价地，其豪普夫补全是否平凡——在算法上是不可判定的。作者通过使用HNN扩张和小扩张技巧，将字问题编码进豪普夫平凡性问题，从而证明即使在双曲群和非正曲率的正方形复形群中，该问题也同样是不可判定的。

ABSTRACT

We prove that there is no algorithm that can determine whether or not a finitely presented group has a non-trivial finite quotient; indeed, this remains undecidable among the fundamental groups of compact, non-positively curved square complexes. We deduce that many other properties of groups are undecidable. For hyperbolic groups, there cannot exist algorithms to determine largeness, the existence of a linear representation with infinite image (over any infinite field), or the rank of the profinite completion.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：即判断一个有限表示群是否存在真有限指数子群是否在算法上可判定。
• 将此不可判定性扩展至几何约束类，如紧致非正曲率正方形复形的基本群。
• 研究豪普夫补全的算法极限，特别是双曲群中的情况。
• 证明在某些群类中，如大群性、无限线性表示以及虚拟第一贝蒂数等性质也是不可判定的。

提出的方法

• 使用斯洛布茨基的有限群通用理论的不可判定性，构造一个有限表示群的递归序列。
• 提出编码定理：一种算法，将群表示和一个字映射为一个新的群，其豪普夫补全为平凡群当且仅当该字在原群的豪普夫补全中为平凡。
• 利用HNN扩张和楔和自由积，将字问题的不可判定性嵌入豪普夫平凡性问题中。
• 将编码定理应用于从无挠、非初等双曲群构造双曲群序列。
• 利用剩余有限性及有限指数子群中核的结构，将表示性质在群扩张之间传递。
• 证明存在非剩余有限的双曲群与双曲群中豪普夫平凡性问题不可判定性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个算法，可判断一个有限表示群是否具有真有限指数子群？
• RQ2 能否判定紧致非正曲率正方形复形的基本群是否存在非平凡的有限商群？
• RQ3 双曲群的豪普夫补全是否平凡，当且仅当该群本身是平凡群？
• RQ4 对于双曲群，大群性、无限线性表示和无限虚拟第一贝蒂数等性质是否可判定？
• RQ5 在无挠双曲群类中，豪普夫平凡性问题是否仍不可判定？

主要发现

• 不存在一个算法可判断一个有限表示群是否具有真有限指数子群，即使限制在紧致非正曲率正方形复形的基本群中亦然。
• 对于有限表示群，豪普夫平凡性问题是不可判定的，即不存在算法可判断一个群的豪普夫补全是否为平凡群。
• 对于有限表示群，存在有限维线性表示且像为无限的性质是不可判定的，即使在非正曲率正方形复形的基本群中也是如此。
• 对于双曲群，存在非平凡有限商群的问题是不可判定的，且这等价于存在非剩余有限的双曲群。
• 虚拟第一贝蒂数与大群性对于双曲群是不可判定的性质，因为它们与无限线性表示的存在性相关。
• 本文确立了豪普夫平凡性的不可判定性在无挠双曲群设定下依然成立，且此类群可通过在四元数双曲空间中的均匀格上应用小扩张构造得出。