[论文解读] The Trotter Step Size Required for Accurate Quantum Simulation of Quantum Chemistry

Davd Poulin, M. B. Hastings+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文重新评估了真实分子量子化学量子模拟所需的Trotter步长，表明在最坏情况下，线路门数复杂度为$\mathcal{O}(N^6)$，显著优于以往基于随机系综报告的$\mathcal{O}(N^8)$。本文提出了一种改进的模拟方案，采用平方和分解与Trotter步长合并技术，降低了资源开销，并表明利用现有技术，约100个自旋轨道的较大分子可能实现模拟。

ABSTRACT

The simulation of molecules is a widely anticipated application of quantum computers. However, recent studies \cite{WBCH13a,HWBT14a} have cast a shadow on this hope by revealing that the complexity in gate count of such simulations increases with the number of spin orbitals $N$ as $N^8$, which becomes prohibitive even for molecules of modest size $N\sim 100$. This study was partly based on a scaling analysis of the Trotter step required for an ensemble of random artificial molecules. Here, we revisit this analysis and find instead that the scaling is closer to $N^6$ in worst case for real model molecules we have studied, indicating that the random ensemble fails to accurately capture the statistical properties of real-world molecules. Actual scaling may be significantly better than this due to averaging effects. We then present an alternative simulation scheme and show that it can sometimes outperform existing schemes, but that this possibility depends crucially on the details of the simulated molecule. We obtain further improvements using a version of the coalescing scheme of \cite{WBCH13a}; this scheme is based on using different Trotter steps for different terms. The method we use to bound the complexity of simulating a given molecule is efficient, in contrast to the approach of \cite{WBCH13a,HWBT14a} which relied on exponentially costly classical exact simulation.

研究动机与目标

• 重新评估真实分子量子模拟中的Trotter步长与门数复杂度，挑战基于随机系综的先前估计。
• 开发一种无需依赖昂贵精确经典模拟的模拟复杂度上界估计方法。
• 探索替代性分解策略与合并技术，以降低量子线路深度与门数。
• 评估现有量子模拟方案在实际分子体系中是否可显著改进。

提出的方法

• 采用Wecker等（2013）推导出的Trotter误差高效上界，避免指数级昂贵的经典模拟。
• 对哈密顿量应用平方和分解，以分组项并减少所需的Trotter步长数量。
• 引入一种合并技术，为不同哈密顿量项分配不同的Trotter步长，提升效率。
• 通过残差误差项的范数分析，对整体模拟误差与复杂度进行上界估计。
• 分析高阶对易子的谱范数，以精炼误差界并改进复杂度估计。
• 利用真实模型分子的数值数据进行验证，与基于随机人工分子的先前工作形成对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 与随机系综相比，真实分子准确量子模拟所需的Trotter步长的真实缩放关系是什么？
• RQ2 先前工作中报告的$\mathcal{O}(N^8)$门数复杂度是否可针对实际分子哈密顿量降低？
• RQ3 如平方和与合并等替代性分解策略，在降低模拟复杂度方面效果如何？
• RQ4 与最坏情况的随机模型相比，真实分子中的平均化效应在多大程度上提升了模拟效率？
• RQ5 是否可不依赖精确经典模拟，推导出模拟误差的高效上界？

主要发现

• 由于真实分子的统计特性优于随机系综，真实分子在最坏情况下的门数复杂度为$\mathcal{O}(N^6)$，而非$\mathcal{O}(N^8)$。
• 对哈密顿量采用平方和分解可实现更高效的Trotter分解，降低资源开销。
• 合并技术——即为不同项分配不同Trotter步长——显著提升了效率，尤其在小分子中效果明显。
• 数值证据表明，对更大分子采用更激进的合并策略可能带来进一步收益，提升实际可行性。
• 即使残差哈密顿量的范数界较弱，为$\mathcal{O}(N^{5/2})$，整体误差界仍可优化至$\mathcal{O}(N^9)$，优于三角不等式估计的$\mathcal{O}(N^{10})$。
• 本研究表明，由于改进的缩放关系与分解策略，约100个自旋轨道的分子模拟比先前预期更具实际可行性。