[论文解读] The Truncated Moment Problem on N 0

Maria Infusino, T. Kuna+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Numerical Methods and Algorithms参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文確立了在非負整數（N₀）上存在具有給定前n階矩的機率測度的必要且充分條件。透過構造一個在N₀上非負的最優n次多項式，並強制其期望值非負，作者們將先前針對n = 1、2及部分n = 3的結果推廣至任意n ≥ 3，為n ≤ 5提供明確的可實現條件，並為n ≥ 6提供可有限計算的形式，同時導出基於矩的界，確保可實現性。

ABSTRACT

We find necessary and sufficient conditions for the existence of a probability measure on N0, the nonnegative integers, whose first n moments are a given n-tuple of nonnegative real numbers. The results, based on finding an optimal polynomial of degree n which is nonnegative on N0 (and which depends on the moments), and requiring that its expectation be nonnegative, generalize previous results known for n = 1, n = 2 (the Percus-Yamada condition), and partially for n = 3. The conditions for realizability are given explicitly for n ≤ 5 and in a finitely computable form for n ≥ 6. We also find, for all n, explicit bounds, in terms of the moments, whose satisfaction is enough to guarantee realizability. Analogous results are given for the truncated moment problem on an infinite discrete semi-bounded subset of R.

研究动机与目标

• 確定在N₀上存在具有指定有限個前n階矩的機率測度的必要且充分條件。
• 推廣n = 1（Percus-Yamada）及n = 2的已知結果，並將其延伸至任意n ≥ 3。
• 為n ≤ 5提供明確的可實現條件，並為n ≥ 6提供可有限計算的形式。
• 推導出以矩表示的顯式界，確保對任意n的可實現性。
• 將框架推廣至R中無限離散半有界子集上的截斷矩問題。

提出的方法

• 構造一個在非負整數N₀上非負的最優n次多項式，並以給定的矩作為參數。
• 要求此多項式在未知測度下的期望值非負，從而導出一組矩不等式。
• 將可實現條件表述為基於N₀上多項式非負性的矩的線性不等式。
• 使用代數技術來特徵化最優多項式及其期望值，將問題簡化為有限系統的可行性問題。
• 透過分析最優多項式的結構，推導出確保可實現性的矩的顯式界。
• 透過類似多項式非負性與矩約束的機制，將方法推廣至R的半有界離散子集。

实验结果

研究问题

• RQ1 給定的一組n個非負實數，其為N₀上某機率測度的前n階矩的必要且充分條件為何？
• RQ2 對於小規模n（特別是n ≤ 5）時，可實現條件如何以顯式形式表達？
• RQ3 能產生最緊密可實現條件的在N₀上非負的最優n次多項式具有何種結構？
• RQ4 能否透過矩的顯式界來確保可實現性，而無需求解不等式系統？
• RQ5 該方法如何推廣至R中無限離散半有界子集上的截斷矩問題？

主要发现

• 本文為N₀上的截斷矩問題在n ≤ 5時提供了明確的可實現條件，其源自最優n次多項式在N₀上非負性。
• 對於n ≥ 6，可實現條件以可有限計算的形式給出，從而支援演算法驗證。
• 作者推導出以給定矩表示的矩的顯式界，這些界足夠確保N₀上對應機率測度的存在性。
• 該方法推廣了n = 2時的Percus-Yamada條件，並將n = 3的局部結果推廣至任意n。
• 框架被推廣至R的無限離散半有界子集，並提供類似的可實現條件與界。
• 最優多項式構造確保了基於N₀上多項式非負性所可導出的最緊密可實現條件。