[论文解读] The Turán number of the triangular pyramid of 4-layers

Hangdi Chen, Yaojun Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2026

Limits and Structures in Graph Theory被引用 0

一句话总结

该论文证明对于大 n，ex(n, TP4) = (1/4) n^2 + Theta(n^{4/3})，解决关于含4层三角锥图的Turán数的猜想。

ABSTRACT

The Turán number $ex(n,H)$ of a graph $H$ is the maximum number of edges in any $H$-free graph on $n$ vertices. The triangular pyramid of $k$-layers, denoted by $TP_k$, is a generalization of a triangle. The Turán problems of a triangular pyramid with small layers have been studied widely by Liu (E-JC, 2013), Xiao, Katona, Xiao and Zamora (DAM, 2022), Ghosh, Győri, Paulos, Xiao and Zamora (DAM, 2022). Moreover, Ghosh et al. conjectured that $ex(n, TP_4)=\frac{1}{4}n^2+Θ(n^{\frac{4}{3}})$. In this note, we confirm this conjecture.

研究动机与目标

• 研究非二分图的 Turán 数的动机，超越团的研究范围，聚焦于三角锥族 TPk。
• 确定 ex(n, TP4) 对大 n 的精确渐近行为。
• 验证 Ghosh、Győri、Paulos、Xiao 与 Zamora 关于 ex(n, TP4) 的猜想。
• 开发上界约束 ex(n, TP4) 的技术并与已知构造的下界相匹配。

提出的方法

• 分析具有大最小度的 TP4-无图，以利用稳定性方法。
• 结合基于划分的方法与 Erdős–Simonovits 及 Simonovits 的稳定性框架。
• 使用辅助图与对 C6 和 F 的已知极值结果来控制局部结构。
• 应用一个约简引理（引理 3.1），将问题化为高最小度的 TP4-无图。
• 将结构界限与全局边数上界相结合，得到 e(G) ≤ h(n) + O(n^{4/3})。
• 通过迭代删除论证与最小度考量导出最终上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于大 n，ex(n, TP4) 的精确渐近值是多少？
• RQ2 是否能将渐近上界收紧至与猜想形式 (1/4)n^2 + o(n^2) 相匹配？
• RQ3 稳定性论证和与相关图（C6、F）相关的极值结果如何约束 TP4-无图？
• RQ4 接近极值边数的 TP4-无图是否存在接近 Turán 图 T2(n) 的结构并带有受控的扰动？
• RQ5 在收敛 Theta(n^{4/3}) 项上有哪些关键障碍，如何克服？

主要发现

• ex(n, TP4) = (1/4)n^2 + Theta(n^{4/3}) 对大 n 已被证明。
• 将问题约减到具有大最小度的 TP4-无图，得到与已知下界构造在 n^{4/3} 项范围内相匹配的上界。
• 作者确定某些增强的双分图配置会强制出现 TP4，从而帮助控制极值构造。
• 边数界限将 Ex(n, C6) 的估计与 Bondy–Simonovits 型论证结合起来，以界定额外边数。
• 该结果证实了 Ghosh 等关于二阶项 Theta(n^{4/3}) 的数量级的猜想。
• 围绕近似 T2(n) 的划分的结构分解，以及稳定性结果共同支撑最终界。