[论文解读] The turbulence velocity gradient tensor formed additively by normal and non-normal tensors

Christopher J. Keylock|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Aug 3, 2016

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种基于Schur分解的湍流速度梯度张量的新型加法分解方法，将其分解为法向与非法向分量，揭示了非法向性所捕捉到的、超越特征值拓扑结构的关键动力学行为。该方法引入了新的拓扑不变量（κ₁、κ₂、κ₃），揭示了应变对齐结构与非局部压力Hessian效应，为高雷诺数流动中的耗散建模提供了更丰富的框架。

ABSTRACT

We decompose the velocity gradient tensor for turbulence into normal and non-normal parts, and condition our analysis on the strain eigenvector alignments between these tensors. We identify states that always enhance, and always counteract the axisymmetric expansion state, and give a rationale for decomposing the production balance term into its constituents: complex behavior arises when the dominant strain alignments involve the non-normal tensor. Finally, we develop a topological analysis framework where mathematical bounds on two of the three variables leads to an analysis in two planes.

研究动机与目标

• 开发一种新的数学框架，通过将速度梯度张量分解为法向与非法向分量，以分析湍流。
• 通过引入特征值表示中缺失的非法向动力学，克服传统Q–R拓扑的局限性。
• 将非法向性与物理机制（如应变对齐与压力Hessian效应）在均匀各向同性湍流中的作用联系起来。
• 提供一个新的拓扑表示空间（κ₁–κ₂、κ₁–κ₃），以捕捉耗散中的拉格朗日动力学与间歇性。
• 通过揭示速度梯度张量中隐藏的动力学结构，实现对高雷诺数流动的改进闭合模型。

提出的方法

• 使用复Schur分解，将速度梯度张量A分解为B（特征值矩阵）与C（非法向残差矩阵），使得A = B + C。
• 通过Schur矩阵N的非对角线部分的Frobenius范数定义非法向性，满足||A||_F² = ||B||_F² + ||C||_F²。
• 引入归一化不变量：κ₁ = ||S_B||_F / ||A||_F，κ₂ = ||S_B||_F / ||S_A||_F，以及κ₃ = ||S_B||_F / ||Ω_A||_F，以量化应变与涡度生成的相对贡献。
• 分析κ₁–κ₂与κ₁–κ₃平面的联合概率分布，条件为判别式D = Q³ + (27/4)R²及R的符号。
• 通过分析A与B的特征向量之间的应变对齐（即法向部分的特征向量），解释主导流动拓扑。
• 将该框架应用于均匀各向同性湍流数据，将非法向动力学与压力Hessian及产生项联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 将速度梯度张量分解为法向与非法向分量，如何揭示特征值拓扑结构所无法捕捉的动力学行为？
• RQ2 非法向性在塑造应变对齐与湍流中相干结构形成方面发挥何种作用？
• RQ3 新的不变量（κ₁、κ₂、κ₃）如何反映不同拓扑区域中应变与涡度生成的相对贡献？
• RQ4 κ₁–κ₂与κ₁–κ₃平面能否揭示如压力Hessian对耗散影响等非局部效应？
• RQ5 在新拓扑空间中的拉格朗日动力学与标准Q–R空间中的动力学有何不同？

主要发现

• 非法向分量C捕捉了独立于特征值谱的动力学行为，||C||_F² = ||A||_F² - ||B||_F²量化了非法向性。
• 在D < 0区域（实特征值），κ₁通常为正，表明法向部分B中存在主导的轴对称拉伸应变。
• 当D > 0时，R < 0且Q > 0条件下，κ₁ > 0，表明在特定拓扑条件下A与B的特征向量呈现对齐。
• 在[e_i^(A), e_i^(C)]对齐区域，κ₁显著为负，表明在某些区域非法向贡献占主导。
• κ₁–κ₃平面显示，R > 0区域与κ₃ > 0相关，表明法向分量中应变增强。
• Vieillefosse尾部区域在[e₂^(A), e₂^(C)]对齐中表现出异常行为，表明存在标准产生项中不可见的独特非法向动力学。