[论文解读] The turnpike with lack of observability

Darío Pighin, Noboru Sakamoto|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2020

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 33被引用 8

一句话总结

本文在弱化可 stabilizability 和可 detectability 条件下，建立了线性二次最优控制问题中的 turnpike 性质，尤其在状态可观测性受限的情况下。研究证明，只要可观测模态是可 stabilizability 的，即使在缺乏完全 detectability 的情况下，turnpike 现象对完整控制和可观测状态依然成立，并通过 unobservable 模态的弱 Hautus 型条件，刻画了在固定终端条件下 turnpike 行为的特征。

ABSTRACT

We obtain turnpike results for optimal control problems with lack of stabilizability in the state equation and/or detectability in the state term in the cost functional. We show how, under weakened stabilizability/detectability conditions, terminal conditions may affect turnpike phenomena. Numerical simulations have been performed to illustrate the theoretical results.

研究动机与目标

• 研究当成本泛函中状态可观测性受限时，线性二次最优控制问题中 turnpike 性质的有效性。
• 确定在何种弱化 stabilizability 和 detectability 条件下，turnpike 现象对完整控制和可观测状态依然成立。
• 分析当系统缺乏完全可观测性或 stabilizability 时，终端条件如何影响 turnpike 行为。
• 将经典 turnpike 理论扩展至哈密顿矩阵可能因不可观测不稳定模态而具有纯虚特征值的情形。
• 通过热方程和波动方程等 PDE 控制系统上的仿真，对理论结果进行数值验证。

提出的方法

• 在自由端点问题中，使用 Kalman 分解将状态空间划分为可 detectable 和不可 detectable 子空间。
• 应用哈密顿系统和哈密顿矩阵的谱分析，研究最优性系统及其解。
• 采用弱 Hautus 检验，刻画不可观测模态不破坏 turnpike 性质的条件。
• 通过将解分解为哈密顿矩阵的稳定、不稳定和临界子空间，分析最优控制和状态的时间演化。
• 通过利用谱性质，对解的稳定和不稳定分量的范数进行有界，推导出指数 turnpike 估计。
• 通过将系统投影到有限维的傅里叶模态上，并在控制点和观测点检查特征函数条件，将结果应用于 PDE（热方程和波动方程）。

实验结果

研究问题

• RQ1 当状态在成本泛函中仅部分可观测时，turnpike 性质在何种条件下成立？
• RQ2 当存在不可观测但不稳定的模态时，其对具有固定终端条件的最优控制问题中 turnpike 行为有何影响？
• RQ3 若系统在经典意义下不可 detectable 或不可 stabilizability，turnpike 性质是否仍能保证？
• RQ4 当可观测性受限时，终端条件在 turnpike 现象的出现或抑制中起何种作用？
• RQ5 哈密顿矩阵的谱性质，特别是纯虚特征值，如何影响最优轨迹的长期行为？

主要发现

• 在自由端点情况下，只要可观测模态是可 stabilizability 的，即使缺乏 detectability，turnpike 性质对完整控制和可观测状态成立的充要条件是可观测模态可 stabilizability。
• 对于带势的热方程，若在观测点非零的每个特征函数在控制点也非零，或对应于稳定模态，则 turnpike 性质成立。
• 对于波动方程，若在控制点为零的每个特征函数也在观测点为零，则 turnpike 性质成立。
• 在固定端点情况下，若不可观测模态不是临界模态，即其在自由动力学中不具有纯虚特征值，则 turnpike 性质对完整控制和状态成立。
• 当哈密顿矩阵因不可观测模态而具有纯虚特征值时，控制和可观测状态表现出指数 turnpike 行为，而未观测状态则随时间线性增长，至多带有指数小余项。
• 数值仿真证实，理论条件可导致最优轨迹快速收敛至稳态解，即使在弱可观测性条件下亦然。