[论文解读] The Tutte Polynomial of a Morphism of Matroids 6. A Multi-Faceted Counting Formula for Hyperplane Regions and Acyclic Orientations

Michel Las Vergnas|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文引入了一个用于定向拟阵视角中与方向相关参数的四变量生成函数，证明其等于在 (x+u, y+v) 处求值的 Tutte 多项式。主要贡献是一个多方面的计数公式，通过 Tutte 多项式求值统一了超平面区域与无环方向的计数，并利用方向活动性和活动划分推导出偏导数的新展开式。

ABSTRACT

We show that the 4-variable generating function of certain orientation related parameters of an ordered oriented matroid is the evaluation at (x + u, y+v) of its Tutte polynomial. This evaluation contains as special cases the counting of regions in hyperplane arrangements and of acyclic orientations in graphs. Several new 2-variable expansions of the Tutte polynomial of an oriented matroid follow as corollaries. This result hold more generally for oriented matroid perspectives, with specific special cases the counting of bounded regions in hyperplane arrangements or of bipolar acyclic orientations in graphs. In corollary, we obtain expressions for the partial derivatives of the Tutte polynomial as generating functions of the same orientation parameters.

研究动机与目标

• 为定向拟阵视角中的超平面区域与无环方向构建一个统一的生成函数。
• 以方向活动性为基础，建立 Tutte 多项式在四变量下的展开式，推广先前的两变量公式。
• 利用基于方向的状态模型，推导 Tutte 多项式偏导数的新展开式。
• 将理论与活动划分及活动双射联系起来，将结果从基推广至方向。
• 将计数公式推广至超平面排列中的有界区域，以及图中的双极无环方向。

提出的方法

• 使用定向拟阵视角 M→M′ 中子集 A⊆E 的方向活动性 θ∗ 和 θ 定义四变量生成函数。
• 证明 t(M, M′; x+u, y+v, 1) 等于所有子集 A⊆E 的 (x/2)^θ∗(A) * (y/2)^θ(A) * (u/2)^θ∗(A) * (v/2)^θ(A) 之和，推广了文献 [20] 中的两变量公式。
• 通过在变量 u 和 v 上进行泰勒展开，将 Tutte 多项式的偏导数表示为具有固定方向活动性的子集的生成函数。
• 应用活动双射框架，将方向活动性与基的 Tutte 活动性联系起来，实现组合解释。
• 从对偶活性类与原始活性类构造活动划分，系统地枚举具有指定 θ∗ 和 θ 值的子集。
• 利用在活动划分中反转类会使得方向活动性变化 ±1 的事实，从而在导数展开中生成单项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个四变量生成函数，以计数定向拟阵视角中的超平面区域与无环方向？
• RQ2 Tutte 多项式偏导数与基于方向的参数之间的确切关系是什么？
• RQ3 活动划分如何实现对具有固定方向活动性的子集的枚举？
• RQ4 在拟阵视角的背景下，方向活动性如何推广 Tutte 活动性？
• RQ5 活动双射能否扩展至将导数展开中的方向活动性与 Tutte 活动性关联起来？

主要发现

• 四变量生成函数 t(M, M′; x+u, y+v, 1) 等于所有子集 A⊆E 的 (x/2)^θ∗(A) * (y/2)^θ(A) * (u/2)^θ∗(A) * (v/2)^θ(A) 之和，提供了一个多方面的计数公式。
• 在 (x,y,1) 处的偏导数 ∂^{p+q}t / ∂x^p∂y^q 等于 p!q! 倍的满足 θ∗(A)=p 且 θ(A)=q 的所有 A⊆E 的 x^{θ∗(A)} y^{θ(A)} 之和。
• 推论 4.2 表明，在 (x,x,1) 处的 p 阶导数 d^p t / dx^p 等于 p! 倍的满足 θ∗(A)+θ(A)=p 的所有 A⊆E 的 x^{θ∗(A)+θ(A)} 之和。
• 满足 θ∗(A)=p 且 θ(A)=q 的子集 A 对应于在活动划分中反转对偶活性类与原始活性类的并集所得到的方向。
• 活动划分结构允许通过方向活动性系统地枚举方向，将 Dawson 划分从基推广至方向。
• 通过活动双射，方向活动性 θ∗ 和 θ 与 Tutte 活动性相关联：θ∗(A) = cr(A′), θ∗(A) = ι(A′), θ(A) = nl(A′), θ(A) = ϵ(A′)，其中 A′ 为对偶基，在活动双射下成立。