[论文解读] The twisted Cartesian model for the double path fibration

Tornike Kadeishvili, Samson Saneblidze|ArXiv.org|Oct 15, 2002

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文通过从立方体集到排列多面体集的截断扭曲函数，引入了双路径纤维丛的扭曲笛卡尔模型，利用排列立方体集构建了环路空间上路径纤维丛的模型。核心贡献在于建立了Hirsch代数的乘法扭曲张量积的正式理论，表明扭曲积的链复形实现了可约cobar构造，并通过推广Steenrod的$\smile_1$运算的一般化运算，为其赋予了$A_\infty$-余代数结构。

ABSTRACT

In the paper the notion of truncating twisting function from a cubical set to a permutahedral set and the corresponding notion of twisted Cartesian product of these sets are introduced. The latter becomes a permutocubical set that models in particular the path fibration on a loop space. The chain complex of this twisted Cartesian product in fact is a comultiplicative twisted tensor product of cubical chains of base and permutahedral chains of fibre. This construction is formalized as a theory of twisted tensor products for Hirsch algebras.

研究动机与目标

• 通过立方体集与排列多面体集，构建双路径纤维丛的组合模型。
• 从立方体集$Q$到一个幺半群排列多面体集$\mathbf{\Omega}Q$，定义一个通用的截断扭曲函数$\vartheta_U: Q \to \mathbf{\Omega}Q$。
• 将扭曲笛卡尔积$Q \times_{\vartheta_U} \mathbf{\Omega}Q$形式化为一个排列立方体集，以建模$|Q|$上的路径纤维丛。
• 通过立方体与排列多面体链的扭曲张量积，建立纤维丛的链级模型。
• 为Hirsch代数发展乘法扭曲张量积的理论，以捕捉纤维丛全空间的乘法结构。

提出的方法

• 引入从立方体集$Q$到幺半群排列多面体集$\mathcal{Z}$的截断扭曲函数$\vartheta: Q_* \to \mathcal{Z}_{*-1}$的概念。
• 通过在标准立方体上应用截断过程，将扭曲笛卡尔积$Q \times_\vartheta \mathcal{L}$定义为一个排列立方体集。
• 构造一个通用的扭曲函数$\vartheta_U: Q \to \mathbf{\Omega}Q$，其中$\mathbf{\Omega}Q$是一个幺半群排列多面体集，用于建模环路空间$\Omega|Q|$。
• 证明链复形$C^\boxminus_*(Q \times_{\vartheta_U} \mathbf{\Omega}Q)$同构于可约cobar构造$\Omega(C^\Box_*(Q); C^\Box_*(Q))$。
• 显式定义与排列多面体对角兼容的排列立方体$B_n$上的对角，并将其传递到cobar构造与扭曲张量积。
• 通过由排列多面体对角诱导的运算$E^{p,q}$，在$C^\Box_*(Q)$上定义Hirsch余代数结构，其中$E^{1,1}$是立方体$\smile_1$运算的对偶。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用立方体集与排列多面体集，组合地建模双路径纤维丛？
• RQ2 通用的截断扭曲函数$\vartheta_U$在构建路径纤维丛的函子性模型中起什么作用？
• RQ3 扭曲笛卡尔积的链复形与cobar构造及可约cobar构造之间有何关系？
• RQ4 排列多面体对角如何在cobar构造上诱导出$A_\infty$-余代数结构？
• RQ5 如何通过Hirsch代数与扭曲张量积，代数化地捕捉纤维丛全空间的乘法结构？

主要发现

• 扭曲笛卡尔积$Q \times_{\vartheta_U} \mathbf{\Omega}Q$是一个排列立方体集，能够建模$|Q|$上的路径纤维丛。
• 链复形$C^\boxminus_*(Q \times_{\vartheta_U} \mathbf{\Omega}Q)$同构于可约cobar构造$\Omega(C^\Box_*(Q); C^\Box_*(Q))$。
• cobar构造$\Omega C^\Box_*(Q)$从排列多面体对角继承了$A_\infty$-余代数结构，其运算$E^{p,q}$推广了立方体$\smile_1$上链运算。
• 链复形$C^\ast_{\boxminus}(Q \times_{\vartheta} \mathbf{\Omega}Z)$的乘法结构由Hirsch代数结构捕捉，微分与乘积满足涉及$E_{1,1}$与$f^\#$的显式公式。
• 乘法模型$(H^\ast(Y) \otimes BH^\ast(Z), d_{\vartheta^\ast})$的上同调同构于$H^\ast(E_f)$作为代数，表明$E_f$的乘法结构仅依赖于$C^\ast(S^2X)$上的$\smile$、$\smile_1$与$\smile_2$运算。
• 该模型表明，若$f^\ast = g^\ast$，则$H^\ast(E_f) \cong H^\ast(E_g)$作为代数，表明全空间的乘法结构仅由基空间与纤维的上同调决定。