[论文解读] The twisted Selberg trace formula and the Selberg zeta function for compact orbifolds

Ksenia Fedosova|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用 7

一句话总结

本文为紧致奇数维双曲轨道丛上的非幺正表示建立了扭曲的塞尔伯格迹公式，证明了相关的塞尔伯格 zeta 函数可在整个复平面上进行亚纯延拓。该方法通过轨道积分计算与轨道丛上的热核渐近分析，将经典迹公式技术扩展至非幺正情形。

ABSTRACT

We study elements of the spectral theory of compact hyperbolic orbifolds $Γ\backslash \mathbb{H}^{n}$. We establish a version of the Selberg trace formula for non-unitary representations of $Γ$ and prove that the associated Selberg zeta function admits a meromorphic continuation to $\mathbb{C}$.

研究动机与目标

• 将塞尔伯格迹公式推广至作用于双曲空间的离散群的非幺正表示。
• 在非幺正情形下，建立紧致轨道丛上塞尔伯格 zeta 函数的亚纯延拓。
• 将热核渐近展开推广至具有奇数维奇异层的轨道丛上的广义拉普拉斯算子。
• 在非幺正设定下计算椭圆元素的轨道积分，以支持迹公式的应用。
• 为研究奇数维轨道丛上的解析 torsion 提供基础工具。

提出的方法

• 推导了与非幺正表示 $\chi$ 和幺正表示 $\sigma$ 相关的非自伴拉普拉斯算子的扭曲塞尔伯格迹公式。
• 将迹公式应用于 $\mathcal{P}(\mathbb{C})$ 中的测试函数 $\phi$，将谱数据与轨道积分 $I_\phi(\gamma)$ 关联起来。
• 利用诱导表示 $\pi_{\sigma',\lambda}$ 的特征标与偶多项式 $P_\gamma(i\lambda)$，计算椭圆元素的轨道积分。
• 为轨道丛上的广义拉普拉斯算子建立了热迹渐近展开 $\text{Tr}\, e^{-t\Delta} \sim \sum_{k=0}^\infty a_k t^{k/2}$。
• 利用奇维情形下热展开常数项消失的性质，支持解析 torsion 的结果。
• 将迹公式应用于对称空间 $\mathbb{H}^{2n+1} = G/K$，其中 $G = SO_0(2n+1,1)$，$K = SO(2n)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当表示 $\chi$ 为非幺正时，紧致双曲轨道丛上的塞尔伯格 zeta 函数是否仍可进行亚纯延拓？
• RQ2 塞尔伯格迹公式能否推广至由非幺正表示产生的非自伴拉普拉斯算子？
• RQ3 在非幺正设定下，椭圆元素的轨道积分具有何种结构？
• RQ4 在具有奇数维奇异层的轨道丛上，热核展开的行为如何？
• RQ5 奇维情形下热核常数项消失对解析 torsion 有何影响？

主要发现

• 对于紧致奇数维双曲轨道丛及非幺正 $\chi$，塞尔伯格 zeta 函数 $Z(s,\sigma,\chi)$ 可在 $\mathbb{C}$ 上进行亚纯延拓。
• 椭圆元素的轨道积分为 $I_\phi(\gamma) = \sum_{\sigma' \in \widehat{SO(2n)}} \int_{\mathbb{R}} \Theta_{\lambda,\sigma'}(\phi) P_\gamma(i\lambda) d\lambda$，涉及特征标与偶多项式。
• 广义拉普拉斯算子在紧致轨道丛上的热迹展开形式为 $\text{Tr}\, e^{-t\Delta} = \frac{1}{2\pi t^{\dim(\mathcal{O})/2}} \sum_{k=0}^\infty a_k t^{k/2}$，其中系数 $a_k$ 为实数。
• 若轨道丛及其所有奇异层均为奇维，则常数项 $a_0$ 消失。
• 迹公式方法表明 $Z'(s,\sigma,\chi)/Z(s,\sigma,\chi)$ 的留数为整数，从而支持其亚纯延拓。
• 结果为未来工作提供了基础，可用于证明奇数维轨道丛上解析 torsion 的度量无关性。