[论文解读] The two classes of hybrid classical-quantum dynamics

Jonathan Oppenheim, Carlo Sparaciari+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2022

Quantum Mechanics and Applications被引用 6

一句话总结

本文通过证明量子-经典版本的Pawula定理，确定了马尔可夫性、连续的经典-量子（CQ）主方程的最一般形式。利用CQ系统的广义柯西-施瓦茨不等式，本文表明完全正性和范数保持性唯一地将CQ动力学限制为无限矩展开（意味着跃迁）或特定有限形式——公式（1）——该形式描述了具有扩散、反作用和Lindblad型退相干的连续相空间演化。

ABSTRACT

Coupling between quantum and classical systems is consistent, provided the evolution is linear in the state space, preserves the split of systems into quantum and classical degrees of freedom, and preserves probabilities. The evolution law must be a completely positive and norm preserving map. We prove that if the dynamics is memoryless, there are two classes of these dynamics, one which features finite sized jumps in the classical phase space and one which is continuous. We find the most general form of each class of classical-quantum master equation. This is achieved by applying the complete positivity conditions using a generalized Cauchy-Schwartz inequality applicable to classical-quantum systems. The key technical result is a generalisation of the Pawula theorem.

研究动机与目标

• 确定保持完全正性和概率守恒的最一般连续经典-量子（CQ）动力学形式。
• 解决在已知模型（如Diosi模型）之外表征连续CQ主方程的开放问题。
• 建立CQ版本的Pawula定理，将CQ动力学中的矩展开限制为无限项或特定有限形式。
• 推导CQ系统中转移振幅矩的完全正性所需且充分的条件。
• 基于主方程结构，明确区分具有连续相空间轨迹的动力学与具有有限尺寸跃迁的动力学。

提出的方法

• 利用适用于经典-量子系统的广义柯西-施瓦茨不等式，推导最一般的CQ主方程。
• 将完全正性约束应用于CQ相空间中转移振幅的Kramers-Moyal展开。
• 通过矩块矩阵的Schur补条件，推导出系数的正性约束。
• 通过矩阵不等式 $\begin{bmatrix}2D_2 & D_1 \\ D_1^* & D_0\end{bmatrix} \succeq 0$ 描述动力学，确保完全正性。
• 证明任何不符合推导形式的CQ动力学必然在相空间中引入有限尺寸跃迁，违反连续性。
• 将连续主方程展开为几乎必然具有连续经典轨迹的随机微分方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有马尔可夫性、连续性的经典-量子主方程的最一般形式是什么？该形式需保持完全正性和概率守恒。
• RQ2 在何种条件下，经典-量子矩展开可采用有限、物理上一致的形式，而非要求无限项？
• RQ3 如何利用广义柯西-施瓦茨不等式，形式化并证明经典-量子版本的Pawula定理？
• RQ4 从主方程结构的角度，如何区分具有连续相空间轨迹的CQ动力学与具有有限尺寸跃迁的动力学？
• RQ5 主方程中的Lindblad算符是否可以为任意形式，还是存在为保持完全正性而施加的形式约束？

主要发现

• 最一般的连续CQ主方程由公式（1）给出，其包含漂移、扩散、经典-量子反作用以及Lindblad型退相干。
• 条件 $2D_2^{00} \succeq D_1 D_0^{-1} D_1^\dagger$ 和 $(\mathbb{I} - D_0 D_0^{-1})D_1 = 0$ 确保完全正性和范数保持。
• 任何不符合此形式的CQ动力学必然在经典相空间中引起有限尺寸跃迁，违反连续性。
• 经典-量子Pawula定理指出：CQ Kramers-Moyal展开要么包含无限多项，要么必须简化为公式（1）的形式。
• 只要满足矩正性条件，主方程中的Lindblad算符可以为任意形式（不一定是迹为零或正交的）。
• 主方程可展开为几乎必然具有连续经典轨迹的随机微分方程，从而确认其连续性特征。