[论文解读] The two-term Machin-like formula for pi with small arguments of the arctangent function

Sanjar M. Abrarov, Brendan M. Quine|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新方法，通过将无理嵌套根式表达式转化为有理近似值，推导出具有任意小反正切参数的两倍 Machin-型公式来计算 π。通过将 π/4 表示为具有有理倒数的反正切之和，该方法实现了显著更快的收敛速度——在 k=40 时，每项可达到 24 位小数的精度，且计算过程中完全避免了无理数的出现。

ABSTRACT

In this paper we propose a new method for determination of the two-term Machin-like formula for pi with arbitrarily small arguments of the arctangent function. This approach excludes irrational numbers in computation and leads to a significant improvement in convergence with decreasing arguments of the arctangent function.

研究动机与目标

• 开发一种生成具有任意小反正切函数参数的两倍 Machin-型公式计算 π 的方法。
• 消除反正切函数参数中的无理数，以简化并加速 π 的数值计算。
• 通过利用嵌套根式的有理近似，显著提升 Machin-型公式的收敛速度。
• 仅使用有理数算术实现 π 的高精度计算，避免涉及根号的复杂代数运算。
• 证明在高 k 值下，该方法可实现与 Chudnovsky 公式相当的收敛速度。

提出的方法

• 通过引入一个有理数 u₁，使得 u₁ ≈ a_k / √(2−a_{k−1}) + ε，其中 |ε| ≪ u₁，将已知恒等式 π/4 = 2^{k−1} arctan(√(2−a_{k−1})/a_k) 转化为有理近似。
• 引入余项 Δ = arctan(1/u₂)，将 π/4 表示为两项之和：2^{k−1} arctan(1/u₁) + arctan(1/u₂)，构成两倍 Machin-型公式。
• 通过复数代数推导出 u₂ 的闭式有理表达式：u₂ = 2 / [((u₁+i)/(u₁−i))^{2^{k−1}} − i] − i，确保当 u₁ 为有理数时，u₂ 也为有理数。
• 利用复对数恒等式及方程 ( (β₁+i)/(β₁−i) )^{α₁} ( (β₂+i)/(β₂−i) )^{α₂} = i 验证两倍公式的正确性。
• 采用反正切函数的 Maclaurin 级数展开 arctan(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − ⋯，其中 |x| 越小，收敛性越好，以此解释高速收敛的原因。
• 对 k = 2 至 23 进行数值验证，结果表明收敛速度随 k 增大而提升，在 k=23 时达到每项 14 位小数的精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用有理数构造出具有任意小反正切参数的两倍 Machin-型公式？
• RQ2 如何将现有 Machin-型公式中无理的嵌套根式表达式转化为有理近似，以提升计算效率？
• RQ3 此类有理化后的两倍 Machin-型公式的可实现收敛速度是多少？其随 k 值增加如何变化？
• RQ4 能否通过有理化反正切参数，使 Machin-型公式的收敛速度达到与 Chudnovsky 公式相当的水平？
• RQ5 该方法在大 k 值下的计算可行性如何？实际中存在哪些限制？

主要发现

• 当 k=23 时，该方法生成的两倍 Machin-型公式中，参数分别为 1/u₁ ≈ 1.87×10⁻⁷ 和 1/u₂ ≈ 2.27×10⁻⁹，每项可贡献约 14 位小数的 π 精度。
• 在 k=40 时，理论收敛速度达到每项 m_max 增量约 24 位小数的 π，与 Chudnovsky 公式性能相当。
• 有理近似方法成功消除了反正切参数中的无理数，显著简化了高精度计算过程。
• 推导出的 u₂ 表达式确保 1/u₁ 和 1/u₂ 均为有理数，从而在迭代计算 π 时可实现精确的有理数算术。
• 数值测试结果表明，当 k 分别为 2, 3, 5, 10, 17, 23 时，每增加一次 m_max，可分别贡献约 1, 2, 3, 6, 10, 14 位小数的 π 精度。
• 该方法在理论上对 k 无上限限制，只要计算资源足够，在 k > 40 时可实现每项超过 24 位小数的收敛速度。