[论文解读] The two-variable elliptic genus in odd dimensions

Yong Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2026

Geometry and complex manifolds被引用 0

一句话总结

用两变量椭圆性种定义为奇维度自旋流形的Toeplitz算子指示和作为全纯 SL(2,Z)-Jacobi 形式，使用 Gamma 子群构建相关的种，并导出异常取消公式和可整除性结果。

ABSTRACT

A kind of two-variable elliptic genus for almost-complex manifolds was introduced by Ping Li and its various properties were established by him. In this paper, we define a two-variable elliptic genus for odd dimensional spin manifolds which is the index for some Toeplitz operator and a holomorphic $SL(2,Z)$-Jacobi form. We also define some two-variable elliptic genera for almost-complex manifolds and odd dimensional spin manifolds which are holomorphic $Γ_0(2)$, $Γ^0(2)$, $Γ_θ$-Jacobi forms. By these Jacobi forms, we can get some $SL(2,{\bf Z})$ and $Γ^0(2)$ modular forms. By these $SL(2,{\bf Z})$ and $Γ^0(2)$ modular forms, we get some interesting anomaly cancellation formulas for almost complex manifolds and odd spin manifolds. As corollaries, we get some divisibility results of the holomorphic Euler characteristic number and the index of Toeplitz operators. In addition, we also define some another two-variable elliptic genera for even (rep. odd ) dimensional manifolds which are meromorphic $Γ_0(2)$, $Γ^0(2)$, $Γ_θ$-Jacobi forms.

研究动机与目标

• 为奇维度自旋流形提供动机并定义两变量椭圆性种。
• 将该种构造成 Toeplitz 算子指示和作为全纯 SL(2,Z)-Jacobi 形式。
• 在模子群下将框架扩展到与近复数与自旋流形相关的种。
• 推导异常取消公式及关于全纯欧拉特征和 Toeplitz 指数的可整除性推论。

提出的方法

• 定义 E(M,W,τ,z) 与 Toeplitz 算子指示 Ell(M,W,g,τ,z)。
• 引入虚束 Q(E) 并推出 ch(Q(E),g^{Q(E)},d,τ) 和模性。
• 在满足特定消去条件 (c1(W)=p1(M)=p1(W), H^3(M,R)=0, 简连通) 时，证明 Ell(M,W,g,τ,z) 是权重为 d+1−l、指数为 l/2 的弱 Jacobi 形式。
• 通过 SL(2,Z) 模形式与 Gamma0(2)、Gamma^0(2)、Gamma_theta Jacobi 形式之间的关系获得异常取消公式。
• 将全纯欧拉特征与 Toeplitz 指数的可整除性结果作为推论。
• 将构造扩展到偶维情形，得到 Gamma0(2)、Gamma^0(2)、Gamma_theta 的 Meromorphic Jacobi 形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以为奇维度自旋流形定义一个两变量椭圆性种，使其以 Toeplitz 算子指示和全纯 Jacobi 形式两种方式出现？
• RQ2 在 SL(2,Z)及其子群下，这些奇维度种具有什么模形式与 Jacobi 形式结构？
• RQ3 从所构造的种的模性出发，是否出现异常取消公式？
• RQ4 从这些模关系能推导出关于全纯欧拉特征和 Toeplitz 指数的可整除性性质？
• RQ5 如何使用 Gamma 子群将奇维度构造与近复数及偶/奇自旋流形的两变量椭圆性种联系起来？

主要发现

• 两变量椭圆性种 Ell(M,W,g,τ,z) 被定义为被 E(M,W,τ,z) 与 Q(E) 伪扭曲的 Toeplitz 算子指示，并可通过特征形式与 theta 函数表示。
• 在 c1(W)=0、p1(M)=p1(W)、H^3(M,R)=0 且简连通的条件下，Ell(M,W,g,τ,z) 是权重为 (d+1−l)、指数为 l/2 的弱 Jacobi 形式。
• 该构造产生了 SL(2,Z) 的模形式以及子群 Γ0(2)、Γ^0(2)、Γ_theta 的模形式，从而为奇自旋与近复合流形提供异常取消公式。
• 推论包括全纯欧拉特征和 Toeplitz 指数的可整除性结果，以及 q 展开的系数 a_n(M,W,g,τ) 之间的明确关系。
• 定理3.7 给出具体的可整除关系：对于某些值的 d+1−l（如 4、6、8、10），系数 a_0^1 与 a_1^1 分别为 240、504、480、264 的倍数，并伴随相应的结构约束。