[论文解读] The typical structure of Gallai colorings and their extremal graphs

József Balogh, Lina Li|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文证明了几乎所有完全图 $K_n$ 的 Gallai $r$-染色仅使用两种颜色，其数量渐近为 $\left(\binom{r}{2} + o(1)\right)2^{\binom{n}{2}}$。通过超图容器方法与稳定性论证，进一步表明当 $r \geq 4$ 时，完全二部图 $K_{\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil}$ 在所有 $n$ 个顶点的图中使 Gallai $r$-染色数最大化，而当 $r=3$ 时 $K_n$ 为极值图。这些结果以高精度解决了 Gallai 染色中的极值与典型结构问题。

ABSTRACT

An edge coloring of a graph $G$ is a Gallai coloring if it contains no rainbow triangle. We show that the number of Gallai $r$-colorings of $K_n$ is $\left(\binom{r}{2}+o(1) ight)2^{\binom{n}{2}}$. This result indicates that almost all Gallai $r$-colorings of $K_n$ use only 2 colors. We also study the extremal behavior of Gallai $r$-colorings among all $n$-vertex graphs. We prove that the complete graph $K_n$ admits the largest number of Gallai $3$-colorings among all $n$-vertex graphs when $n$ is sufficiently large, while for $r\geq 4$, it is the complete bipartite graph $K_{\lfloor n/2 floor, \lceil n/2 ceil}$. Our main approach is based on the hypergraph container method, developed independently by Balogh, Morris, and Samotij as well as by Saxton and Thomason, together with some stability results for containers.

研究动机与目标

• 确定当 $n \to \infty$ 时，完全图 $K_n$ 的 Gallai $r$-染色的典型结构。
• 识别在固定 $r \geq 3$ 时，使 Gallai $r$-染色数最大的 $n$-顶点图。
• 弥合已知的 Gallai $r$-染色数上界与下界之间的差距。
• 将超图容器方法应用于 Gallai 染色中的极值问题，拓展了拉姆齐理论与极值组合数学中的先前结果。

提出的方法

• 应用 Balogh、Morris 和 Samotij，以及 Saxton 和 Thomason 开发的超图容器方法，以界定 Gallai $r$-染色的数量。
• 利用稳定性结果分析 Gallai 染色的结构，表明使用超过两种颜色的染色是罕见的。
• 定义 Gallai $r$-模板与容器，以在无彩虹三角形的约束下枚举有效染色。
• 建立部分染色中彩虹三角形数量的界，以确保保持 Gallai 性质。
• 通过分析子图中的度分布与边密度，推导出有效染色数的上界。
• 将容器界与以 $r$ 为底的对数估计结合，以控制染色数的指数增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \to \infty$ 时，随机 Gallai $r$-染色在 $K_n$ 上使用的典型颜色数是多少？
• RQ2 对于固定的 $r$，哪个 $n$-顶点图能实现最多的 Gallai $r$-染色？
• RQ3 Gallai $r$-染色的极值图如何随 $r$ 变化？
• RQ4 超图容器方法能否用于获得 $K_n$ 的 Gallai $r$-染色数的紧致界？
• RQ5 Gallai $r$-染色数的渐近增长速率是多少，它与平凡下界有多接近？

主要发现

• 完全图 $K_n$ 的 Gallai $r$-染色数渐近为 $\left(\binom{r}{2} + o(1)\right)2^{\binom{n}{2}}$，表明几乎所有此类染色仅使用两种颜色。
• 当 $r \geq 4$ 时，对于足够大的 $n$，完全二部图 $K_{\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil}$ 是唯一使 Gallai $r$-染色数最大的极值图。
• 当 $r = 3$ 时，对于足够大的 $n$，完全图 $K_n$ 是 Gallai $3$-染色数的极值图。
• 对 $K_n$ 的 Gallai $r$-染色数的上界与来自二色染色的平凡下界相差一个因子 $\binom{r}{2} + 2^{-n/(4\log^2 n)}$。
• 超图容器方法通过控制模板及其扩展的数量，成功地界定了 Gallai 染色数，从而得到了紧致的渐近估计。
• 分析表明，使用超过两种颜色的 Gallai 染色是指数级稀少的，其贡献随 $n$ 增大而迅速减弱。