[论文解读] The ultimate question

Gábor Wiener, Makoto Araya|ArXiv.org|Apr 20, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 1被引用 66

一句话总结

本文構造了一個具有42個頂點的平面次哈密頓圖，解決了圖論中長期存在的最小此類圖的問題。作者利用格里伯格判據與計算驗證，證明該圖非哈密頓圖，且刪除任一頂點後為哈密頓圖；同時構造了一個具有162個頂點的平面次蹤跡圖，改善了先前的界。

ABSTRACT

We present a planar hypohamiltonian graph on 42 vertices and show some consequences.

研究动机与目标

• 構造目前已知最小的平面次哈密頓圖，解決圖論中長期懸而未決的問題。
• 在湯瑪森定理的基礎上，改善平面次蹤跡圖最小尺寸的上界。
• 精確化在k-連通平面圖中，某些頂點集合被最長圈或最長路徑所遺漏時的最小尺寸界。
• 提供一個具體的實例，滿足平面圖、非哈密頓圖，但刪除任一頂點後變為哈密頓圖的條件。

提出的方法

• 利用圖論中已知的結構原理，構造一個具有42個頂點的特定平面圖。
• 應用格里伯格判據，正式證明該圖非哈密頓圖。
• 使用計算工具（例如 Mathematica）驗證刪除任一頂點後，圖均為哈密頓圖。
• 利用湯瑪森定理，將構造延伸至一個具有162個頂點的平面次蹤跡圖。
• 系統性分析k-連通平面圖中頂點遺漏性質，以改善$\overline{C_{k}^{j}}$與$\overline{P_{k}^{j}}$的界。
• 運用Chvátal、Thomassen、Hatzel與Zamfirescu的已知結果，指導並驗證構造。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面次哈密頓圖的最小可能頂點數是多少？
• RQ2 能否構造一個少於186個頂點的平面次蹤跡圖？
• RQ3 在平面k-連通圖中，$\overline{C_{3}^{1}}$、$\overline{C_{3}^{2}}$、$\overline{P_{3}^{1}}$與$\overline{P_{3}^{1}}$的改進上界為何？
• RQ4 是否存在一個42個頂點的平面圖，其本身非哈密頓圖，但刪除任一頂點後變為哈密頓圖？
• RQ5 該構造能否透過湯瑪森定理延伸，以產生一個次蹤跡圖？

主要发现

• 構造了一個具有42個頂點的平面次哈密頓圖，確立了目前已知最小的實例。
• 利用格里伯格判據證明該圖非哈密頓圖，此為平面圖論中的關鍵理論工具。
• 計算驗證確認刪除任一頂點後圖均為哈密頓圖，滿足次哈密頓圖的條件。
• 構造了一個具有162個頂點的平面次蹤跡圖，改善了先前186個頂點的最佳界。
• 利用新構造，確立了$\overline{C_{3}^{1}}$、$\overline{C_{3}^{2}}$、$\overline{P_{3}^{1}}$與$\overline{P_{3}^{1}}$的改進上界。
• 該構造確認最小平面次哈密頓圖的頂點數至多為42個，可能以戲謔方式回答了道格拉斯·亞當斯所稱的「終極問題」。