[论文解读] The Unbounded-Error Communication Complexity of symmetric XOR functions

Hamed Hatami, Yingjie Qian|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文通过证明对称XOR函数的无界误差通信复杂度（up to poly-logarithmic factors）被命题D在距离为2处不同的索引数量（即 deg₂(D)）紧密刻画，从而解决了Shi和Zhang的猜想。作者通过一种新颖的组合嵌入方法，将XOR问题约化为先前已解决的对称AND函数情形，利用Sherstov的模式矩阵方法和Forster不等式，推导出匹配的 Θ(M/log⁵n) 下界和 O(M log n) 上界，其中 M = deg₂(D)。

ABSTRACT

Settling a conjecture of Shi and Zhang, we determine the unbounded-error communication complexity of the symmetric XOR functions up to a poly-logarithmic factor. Our proof is by a simple reduction to an earlier result of Sherstov.

研究动机与目标

• 解决Shi和Zhang关于对称XOR函数无界误差通信复杂度的长期猜想。
• 确定 f⊕D(x,y) = D(|x⊕y|) 的无界误差复杂度的紧渐近界，其中 D 是对汉明权重的命题。
• 证明复杂度由 deg₂(D)（即 D(i) ≠ D(i+2) 的位置数）决定，而非 deg(D)。
• 表明尽管最初存在怀疑，Sherstov针对对称AND函数的技术仍可通过一种新颖的约化方法适配至XOR函数。

提出的方法

• 通过基于原始D构造派生命题G，将对称XOR函数 f⊕D 约化为对称AND函数 f∧G。
• 使用组合限制论证，在长度为 q = n/32 的子区间内隔离出至少 M/2⁷ 次在距离为2处符号变化的G。
• 应用Sherstov关于对称AND函数的结果，该结果将它们的无界误差复杂度与 deg(G) 联系起来，从而在 U(f∧G) 上获得 Θ(KG/log⁵q) 的下界。
• 通过精心构造具有固定汉明权重 r 和 t 的输入 x,y，使得 |x⊕y| = r + t - 2|x∧y|，将 f∧G 协议嵌入 f⊕D，从而保持功能关系。
• 构造一个实值函数 p(x)，其非零傅里叶系数不超过 4n^M 个，使得对所有 x 都有 p(x)D(|x|) > 0，从而确保 f⊕D 的符号表示。
• 利用 f⊕D 的符号秩受 p 的非零傅里叶系数个数限制的事实，得出 U(f⊕D) 的上界为 O(M log n)。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的命题D，对称XOR函数 f⊕D(x,y) = D(|x⊕y|) 的无界误差通信复杂度是多少？
• RQ2 复杂度是否依赖于 deg₂(D)，即 D(i) ≠ D(i+2) 的位置数，而非 deg(D)？
• RQ3 尽管最初存在疑虑，是否可以将为对称AND函数开发的技术适配至对称XOR函数？
• RQ4 是否存在一种从XOR情形到AND情形的约化，使得复杂度仅相差 poly-logarithmic 因子？

主要发现

• f⊕D 的无界误差通信复杂度的下界为 Θ(M/log⁵n)，其中 M = deg₂(D)，即 D(i) ≠ D(i+2) 的索引数量。
• 通过构造一个非零傅里叶系数不超过 4n^M 个且能符号表示 f⊕D 的函数，建立了 O(M log n) 的上界。
• 下界通过将简化后的AND函数 f∧G 嵌入 f⊕D 得到，其中 G 满足 deg(G) ≥ M/2⁷，并应用Sherstov关于对称AND函数的结果。
• 该约化表明，对称XOR函数的无界误差复杂度由 deg₂(D) 决定，而非 deg(D)，从而解决了Shi和Zhang的猜想。
• 该证明表明，尽管XOR与AND函数在结构上存在差异，但其复杂度差距仅为对数级别。
• 结果证实，Forster不等式与Sherstov的模式矩阵方法在结合精心设计的输入嵌入后，即使在XOR情形下依然具有强大效力。