[论文解读] The unconditional basic sequence problem

W. T. Gowers, B. Maurey|arXiv (Cornell University)|May 6, 1992

Advanced Banach Space Theory被引用 75

一句话总结

该论文构建了一个自反的、遗传不可分解（H.I.）的巴拿赫空间，其中不包含无限个无条件基本序列，从而解决了无条件基本序列问题。其关键创新在于将一种新颖的范数等价变换技术应用于施鲁姆普雷希特空间，证明此类空间不可能包含无条件基，并确立了该空间上每个有界算子均为一个数量算子加上一个严格紧算子，从而推出该空间与任何真子空间或超平面都不同构。

ABSTRACT

We construct a Banach space that does not contain any infinite unconditional basic sequence.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的公开问题：每个可分巴拿赫空间是否都包含一个无限无条件基本序列。
• 构造一个自反巴拿赫空间，使其为遗传不可分解（H.I.），即任何无限维子空间都无法分解为两个无限维子空间的拓扑直和。
• 证明此类H.I.空间不可能包含任何无限无条件基本序列，从而为无条件基本序列问题提供一个反例。
• 确立在复H.I.巴拿赫空间上，每个有界线性算子均为 λId + S 的形式，其中 S 为严格紧算子，从而得出强结构结论。

提出的方法

• 该构造基于施鲁姆普雷希特空间，该空间满足一种准则，即存在一个等价范数，使其不包含 C-无条件基本序列。
• 通过引入渐近集的概念，定义了一种新的渐近结构，从而能够控制基本序列在扰动下的行为。
• 通过证明任意两个无限维子空间在范数下彼此任意接近，从而证明该空间是遗传不可分解（H.I.），进而违反了拓扑直和分解的存在性。
• 证明利用了谱论以及“无限奇异”概念：若算子 T − λId 在任何无限维子空间上均非同构，则称标量 λ 对算子 T 是无限奇异的。
• 关键论证基于：在H.I.空间中，任一有界算子的谱为有限集或收敛于某一点的特征值序列，而该点必为无限奇异点。
• 通过谱投影和不变子空间论证分析复空间版本，证明其谱为有限集或收敛序列，从而导出算子分解定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个可分巴拿赫空间是否都包含一个无限无条件基本序列？
• RQ2 是否存在一个自反巴拿赫空间，其不包含任何无条件基本序列？
• RQ3 是否存在一个遗传不可分解巴拿赫空间，其与任何真子空间或超平面均不不同构？
• RQ4 遗传不可分解巴拿赫空间上有界线性算子的结构是怎样的？
• RQ5 此类空间的算子结构是否可完全表征为 λId + 严格紧算子的形式？

主要发现

• 所构造的巴拿赫空间是自反的且遗传不可分解（H.I.），即任何无限维子空间都无法表示为两个无限维子空间的拓扑直和。
• 该空间不包含任何无限无条件基本序列，从而在否定方向上解决了无条件基本序列问题。
• 在该空间的复版本上，每个有界线性算子 T 均可表示为 T = λId + S，其中 S 为严格紧算子，且 T 的谱为有限集或收敛于 λ 的特征值序列。
• 该空间与任何真子空间不同构，特别是与任何超平面均不同构，从而为超平面问题提供了反例。
• 实版本空间也满足相同的非同构性质，该结论通过复化及谱对称性论证得以证明。
• 该空间是“每个巴拿赫空间都同构于有限余维子空间”这一猜想的反例，且与任何其超平面均不同构。