[论文解读] The undecidability of joint embedding and joint homomorphism for hereditary graph classes

Samuel Braunfeld|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2019

semigroups and automata theory被引用 4

一句话总结

本文证明了由有限个禁止诱导子图集定义的遗传图类的联合嵌入性质（JEP）与联合同态性质（JHP）的不可判定性。通过从不可判定的铺砌问题进行约化，作者构建了图类，其中JEP与JHP恰好对应于铺砌解的存在性，从而确立了不存在通用算法可判定这些性质。

ABSTRACT

We prove that the joint embedding property is undecidable for hereditary graph classes, via a reduction from the tiling problem. The proof is then adapted to show the undecidability of the joint homomorphism property as well.

研究动机与目标

• 确定由有限个禁止诱导子图集定义的遗传图类的联合嵌入性质（JEP）是否可判定。
• 研究同一类遗传图类中联合同态性质（JHP）的可判定性。
• 将先前关于普遍可数图的不可判定性结果扩展至JEP与JHP设置。
• 解决关于置换类与单调图类中原子性与普遍性方面的开放问题。

提出的方法

• 通过将网格与瓷砖结构编码为具有特定诱导子图约束的图，将不可判定的铺砌问题约化为联合嵌入问题。
• 使用一元谓词进行结构控制，构建两个典型图 $A^*$ 和 $B^*$，分别代表一个网格与一个铺砌系统。
• 通过禁止诱导子图施加约束，确保 $A^*$ 与 $B^*$ 的联合嵌入恰好编码一个有效的铺砌解。
• 利用紧致性定理将有限JEP与可数结构的JEP等价化，从而支持模型论推理。
• 通过证明在约束下，映射到同一结构的同态必须为嵌入，将证明适配至联合同态性质。
• 应用编码技术，将含一元谓词的丰富语言转换为纯图语言，同时保持不可判定性。

Figure 1: A portion of the canonical models $A^{*}$ and $B^{*}$ , with the grid points in $A^{*}$ tiled by tiles attached to grid points with the same coordinates in $B^{*}$ . Path points are blue, with the origin a different shade. Grid points are red, their $y$ -coordinate determined by an orange

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个算法，给定一个有限个禁止诱导子图集，可判定其对应的遗传图类是否具有联合嵌入性质？
• RQ2 是否存在一个算法，给定一个有限个禁止诱导子图集，可判定其对应的遗传图类是否具有联合同态性质？
• RQ3 能否将图类中使用的方法适配，以证明有限基置换类中原子性的不可判定性？
• RQ4 对于由禁止非诱导子图定义的单调图类，联合嵌入性质是否可判定？
• RQ5 能否将JEP的不可判定性结果推广至由禁止置换定义的遗传置换图类？

主要发现

• 由有限个禁止诱导子图集定义的遗传图类的联合嵌入性质是不可判定的。
• 同一类遗传图类的联合同态性质也是不可判定的。
• 该不可判定性通过从已知不可判定的铺砌问题约化而建立。
• 证明首先在含一元谓词的丰富语言中进行，随后通过编码技术约化至纯图语言。
• 该构造确保了两个特定图 $A^*$ 与 $B^*$ 的联合嵌入恰好对应于铺砌问题的一个解。
• 该结果意味着不存在算法可判定一个遗传图类是否允许存在一个普遍可数结构。