[论文解读] The unifying formula for all Tribonacci-type octonions sequences and their properties

Gamaliel Cerda-Morales|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过将广义Tribonacci数的概念扩展到八元数代数，提出了一种广义Tribonacci型八元数序列的统一公式。它推导出这类八元数的Binet型公式、生成函数及关键恒等式，将已知序列如Fibonacci、Pell和Jacobsthal八元数统一于基于非结合8维代数中三阶线性递推关系的单一框架下。

ABSTRACT

Various families of octonion number sequences (such as Fibonacci octonion, Pell octonion and Jacobsthal octonion) have been established by a number of authors in many different ways. In addition, formulas and identities involving these number sequences have been presented. In this paper, we aim at establishing new classes of octonion numbers associated with the generalized Tribonacci numbers. We introduce the Tribonacci and generalized Tribonacci octonions (such as Narayana octonion, Padovan octonion and third-order Jacobsthal octonion) and give some of their properties. We derive the relations between generalized Tribonacci numbers and Tribonacci octonions.

研究动机与目标

• 将Tribonacci数的概念推广至八元数代数，扩展已知的Fibonacci和Pell八元数序列。
• 利用广义Tribonacci数建立所有Tribonacci型八元数序列的统一框架。
• 为广义Tribonacci八元数推导出闭式表达式（Binet型公式）和生成函数。
• 探讨这些八元数的代数与数论性质，包括递推恒等式和特征方程。
• 将多种八元数序列（如Narayana、Padovan、三阶Jacobsthal）统一于单一代数结构之下。

提出的方法

• 通过三阶线性递推关系定义广义Tribonacci数：$ V_n = rV_{n-1} + sV_{n-2} + tV_{n-3} $，其中初始值任意，参数为实数。
• 将广义Tribonacci八元数构造为 $ O_{v,n} = V_n e_0 + V_{n+1} e_1 + \cdots + V_{n+7} e_7 $，将序列嵌入八元数代数中。
• 利用特征方程 $ x^3 - rx^2 - sx - t = 0 $ 的根 $ \alpha, \omega_1, \omega_2 $，推导出 $ O_{v,n} $ 的Binet型公式。
• 应用Horadam与Iyer在Fibonacci四元数上的技术，经调整后适用于八元数，利用根的对称函数与代数恒等式。
• 利用闭式表达式和根的性质，推导广义Tribonacci八元数的生成函数。
• 通过操作特征方程与八元数乘法规则，建立递推恒等式，并证明其与线性递推的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Tribonacci数如何被扩展以构成一致的八元数序列族？
• RQ2 广义Tribonacci八元数的闭式Binet型公式是什么？
• RQ3 八元数的代数性质如何影响这些序列的结构？
• RQ4 哪些恒等式与生成函数刻画了广义Tribonacci八元数序列？
• RQ5 已知序列如Jacobsthal、Padovan和Narayana八元数能否在此广义框架下统一？

主要发现

• 为广义Tribonacci八元数推导出统一的Binet型公式：$ O_{v,n} = \frac{P\underline{\alpha}\alpha^n}{(\alpha-\omega_1)(\alpha-\omega_2)} - \frac{Q\underline{\omega_1}\omega_1^n}{(\alpha-\omega_1)(\omega_1-\omega_2)} + \frac{R\underline{\omega_2}\omega_2^n}{(\alpha-\omega_2)(\omega_1-\omega_2)} $，其中 $ P, Q, R $ 由初始值和特征方程的根定义。
• 利用闭式表达式和根 $ \alpha, \omega_1, \omega_2 $ 的性质，构建了广义Tribonacci八元数的生成函数。
• 证明了递推恒等式 $ \alpha^2 O_{v,n+2} + \alpha(sO_{v,n+1} + tO_{v,n}) + tO_{v,n+1} = P\underline{\alpha}\alpha^{n+2} $，将八元数序列与特征方程联系起来。
• 当 $ r=s=t=1 $，$ V_0=0, V_1=V_2=1 $ 时，公式退化为经典Tribonacci八元数，确认与已知情形的一致性。
• 该框架成功地将多种八元数序列（包括Narayana、Padovan和三阶Jacobsthal八元数）统一于单一代数结构之下。
• 该方法将先前关于Fibonacci和Lucas四元数的研究推广至八元数，将Horadam-Iyer方法扩展至更高维的非结合代数。