[论文解读] The unirationality of the moduli spaces of 2-elementary K3 surfaces (with an Appendix by Ken-Ichi Yoshikawa)

Shouhei Ma|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 9

一句话总结

本文证明了所有75种可能的不变量（r,a,δ）下，2-初等K3曲面——即配备非辛对合的K3曲面——的模空间是双有理的。证明方法利用了模空间的伽罗瓦覆盖以及它们之间的同源关系，通过在射影平面上点构型与正交群上的模形式的几何解释，将问题归约为有限数量的情形进行研究。

ABSTRACT

We prove that the moduli spaces of K3 surfaces with non-symplectic involutions are unirational. As a by-product we describe configuration spaces of 4

研究动机与目标

• 建立所有75种可能不变量（r,a,δ）下2-初等K3曲面模空间的双有理性，扩展已知的特殊情形下的有理性结果。
• 通过模空间与正交群，为理解这些模空间的双有理几何提供几何与群论框架。
• 通过基于同源关系与覆盖的系统性方法，统一并推广先前关于K3曲面与Enriques曲面模空间有理性的结果。
• 通过构造模参数化，将射影平面ℙ²中5至8个点的构型与IV型算术商联系起来。
• 完成对这些模空间Kodaira维数的分类，特别是证明当11 ≤ r ≤ 17且r + a = 22时，κ = −∞。

提出的方法

• 通过作用在其判别形式上平凡的格L−的等距群Ũ(O(L−))，构造模空间ℳ(r,a,δ)的伽罗瓦覆盖Ũ(r,a,δ)。
• 当a′ < a且δ = 1或δ = δ′时，建立Ũ(r,a,δ)与Ũ(r,a′,δ′)之间的同源关系，从而实现在不同不变量间传递双有理性。
• 利用Ũ(r,a,δ)作为平面六次曲线（带标记奇点）或ℙ²中5至8个点构型的几何模空间解释，证明大a情形下的双有理性。
• 应用Borcherds的自动形式理论与Siegel theta提升，构造具有指定除子结构的模形式，特别使用提升ΞL− = ΨL−(·, ℬL−[ψ8+σ−])，其权与除子数据已知。
• 利用Mp₂(ℤ)在矢量值模形式上的作用，通过ψm在ST^l与V下的变换规律，推导Borcherds提升的傅里叶展开。
• 利用Borcherds与Gritsenko的判别准则，证明存在具有特定除子的全纯自动形式，意味着Kodaira维数为−∞。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有2-初等K3曲面模空间是否对所有由不变量（r,a,δ）分类的情形都是双有理的？
• RQ2 能否通过模空间的同源关系与伽罗瓦覆盖，统一建立这些模空间的双有理性？
• RQ3 当r + a = 22且11 ≤ r ≤ 17时，模空间ℳ(r,a,δ)的双有理几何性质如何？
• RQ4 如何将ℙ²中5至8个点的构型实现为IV型算术商，其与2-初等K3曲面的关系是什么？
• RQ5 能否通过模形式确定ℳ(r,a,δ)的Kodaira维数，且该结果是否与通过覆盖与同源关系的几何方法一致？

主要发现

• 所有75种可能的不变量（r,a,δ）下，2-初等K3曲面的模空间ℳ(r,a,δ)都是双有理的。
• 通过证明其伽罗瓦覆盖Ũ(r,a,δ)的双有理性，并借助同源关系实现不变量间的传递，建立了ℳ(r,a,δ)的双有理性。
• 当11 ≤ r ≤ 17且r + a = 22时，ℳ(r,a,δ)的Kodaira维数为−∞，这是通过构造一个具有除子2ℋ的全纯自动形式ΞL−实现的，其中ℋ是所有−4-范数超平面的并集。
• Borcherds提升ΞL− = ΨL−(·, ℬL−[ψ8+σ−])是一个权为(2^{(r−a)/2} + 1)(−m² − 9m + 124)的全纯自动形式，其除子为∑_{λ²=−4}λ⊥ + 2^{(r−a)/2}∑_{λ²=−1}λ⊥。
• 模形式ℬL−[ψ8+σ−]具有傅里叶展开，其首项为q^{-2}e₀ + 2^{(r−a)/2} × 2(−m² − 9m + 124)e₀ + O(q)，从而确认了该提升的存在性。
• 模空间ℳ(1,1,1)与|ℙ²(6)|/PGL₃的商空间双有理，而该商空间是双有理的，因此可作为一般结果的原型。