[论文解读] The unitary polar factor Q=U minimizes norm{Log(Q^* Z)}^2 and norm{sym Log(Q^* Z)}^2 in the spectral norm in any dimension and the Frobenius matrix norm in three dimensions

Patrizio Neff, Yuji Nakatsukasa+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Matrix Theory and Algorithms被引用 2

一句话总结

该论文证明了在极分解 $Z = UH$ 中，酉极因子 $Q = U$ 在任意维度下均最小化 $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ 及其对称部分 $\|\mathrm{sym}\,\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$，其中谱范数适用于所有维度，Frobenius 范数适用于三维情形。该结果确立了 $U$ 作为在测地距离意义下最接近 $Z$ 的正交矩阵，基于矩阵对数与迹不等式。

ABSTRACT

The unitary polar factor $Q=U$ in the polar decomposition of the matrix $Z=UH$ is the minimizer for both $\| \mathrm{Log}(Q^* Z)\|^2$ and its Hermitian part $\| \mathrm{sym Log}(Q^* Z)\|^2$ over both $\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}$, for any given invertible matrix $Z$ in $\mathbb{C}^{n imes n}$ and any matrix logarithm $\mathrm{Log}$, not necessarily the principal logarithm $\mathrm{log}$. We prove this for the spectral matrix norm in any dimension and for the Frobenius matrix norm in two and three dimensions. The result shows that the unitary polar factor is the nearest orthogonal matrix to $Z$ not only in the normwise sense, but also in a geodesic distance. The derivation is based on Bhatia's generalization of Bernstein's trace inequality for the matrix exponential and a new sum of squared logarithms inequality.

研究动机与目标

• 建立酉极因子 $U$ 在任意可逆矩阵 $Z$ 下，通过矩阵对数定义的测地类距离的最小化。
• 将最近正交矩阵的概念从基于范数的距离推广至包含测地与对数矩阵范数的框架。
• 证明 $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ 与 $\|\mathrm{sym}\,\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ 在所有酉矩阵 $Q$ 上的最小化，使用非主对数。
• 展示该结果在所有维度下对谱范数成立，在 $n=2,3$ 时对 Frobenius 范数也成立。
• 推导并应用一个新的平方对数和不等式，推广 Bernstein 的矩阵指数迹不等式。

提出的方法

• 利用 Bhatia 对矩阵指数的 Bernstein 迹不等式的一般化形式来控制对数范数。
• 应用一种新颖的平方对数和不等式，以控制对数矩阵表达式的迹。
• 分析任意对数（而不仅是主对数）下的矩阵对数 $\mathrm{Log}(Q^*Z)$。
• 同时考虑完整对数及其对称部分 $\mathrm{sym}\,\mathrm{Log}(Q^*Z)$，以捕捉测地结构。
• 采用谱范数与 Frobenius 范数来评估不同矩阵范数下的最小化性能。
• 通过证明 $Q = U$ 最小化从 $Z$ 出发的对数偏差的平方范数，从而证明其最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意可逆矩阵 $Z$，酉极因子 $U$ 是否最小化所有酉矩阵 $Q$ 的 $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$？
• RQ2 是否 $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ 的最小化器与 $\|\mathrm{sym}\,\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ 的最小化器相同？
• RQ3 该最小化结果是否在所有维度下对谱范数成立，并在 $n=2,3$ 时对 Frobenius 范数也成立？
• RQ4 该结果能否使用非主矩阵对数来证明？
• RQ5 证明该最小化结果需要哪些新不等式？

主要发现

• 在任意维度 $n$ 下，酉极因子 $U$ 最小化所有酉矩阵 $Q$ 的 $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$，且在谱范数下成立。
• 在三维情形下，$U$ 同样在 Frobenius 范数下最小化 $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$。
• 在相同条件下，对称部分 $\mathrm{sym}\,\mathrm{Log}(Q^*Z)$ 在谱范数与 Frobenius 范数下也实现相同最小化。
• 该结果对任意矩阵对数 $\mathrm{Log}$ 成立，而不仅限于主对数。
• 证明依赖于一个新的平方对数和不等式以及矩阵指数的广义迹不等式。
• 酉极因子 $U$ 是通过矩阵对数定义的测地型距离的唯一最小化器。