[论文解读] The Universal Fragment of Presburger Arithmetic with Unary Uninterpreted Predicates is Undecidable

Matthias Horbach, Marco Voigt+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文证明了在单个一元未解释谓词扩展下的纯全称片段的Presburger算术是不可判定的，通过将两计数器机的停机问题归约为该片段中的不可满足性。关键贡献在于确立了该受限语言中不可满足性的Σ⁰₁-完全性，表明即使没有存在量词或函数符号，该问题仍是不可判定的。

ABSTRACT

The first-order theory of addition over the natural numbers, known as Presburger arithmetic, is decidable in double exponential time. Adding an uninterpreted unary predicate to the language leads to an undecidable theory. We sharpen the known boundary between decidable and undecidable in that we show that the purely universal fragment of the extended theory is already undecidable. Our proof is based on a reduction of the halting problem for two-counter machines to unsatisfiability of sentences in the extended language of Presburger arithmetic that does not use existential quantification. On the other hand, we argue that a single $\\forall\\exists$ quantifier alternation turns the set of satisfiable sentences of the extended language into a $\\Sigma^1_1$-complete set. Some of the mentioned results can be transfered to the realm of linear arithmetic over the ordered real numbers. This concerns the undecidability of the purely universal fragment and the $\\Sigma^1_1$-hardness for sentences with at least one quantifier alternation. Finally, we discuss the relevance of our results to verification. In particular, we derive undecidability results for quantified fragments of separation logic, the theory of arrays, and combinations of the theory of equality over uninterpreted functions with restricted forms of integer arithmetic. In certain cases our results even imply the absence of sound and complete deductive calculi.

研究动机与目标

• 填补在扩展了未解释谓词的Presburger算术中可判定与不可判定片段之间的差距。
• 确定该扩展理论的纯全称片段是否仍保持可判定性或变为不可判定。
• 厘清在存在未解释谓词时，可判定与不可判定片段之间的边界。
• 评估此不可判定性对分离逻辑和数组理论等验证逻辑的影响。
• 考察具有量词交替的片段是否存在可靠且完备的演绎演算系统。

提出的方法

• 将两计数器机的停机问题归约为带有单个一元未解释谓词的Presburger算术纯全称片段中的不可满足性。
• 将机器配置编码为整数三元组（状态，计数器1，计数器2），并使用单个未解释谓词P表示可达配置。
• 构造仅使用全称量词和线性算术约束的句子，以编码状态转移及初始/终止状态。
• 引入辅助常量d和e以编码配置的时间顺序和停机条件，避免使用存在量词。
• 采用改进的编码方式，追踪配置的时间序列，从而形式化循环与停机行为。
• 通过将编码适配至有序实数域，将结果推广至实数上的线性算术，保持不可判定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 带有单个一元未解释谓词的Presburger算术的纯全称片段是否可判定？
• RQ2 全扩展的不可判定性是否可归因于全称片段本身？
• RQ3 在扩展语言中，具有单个∀∃量词交替的句子的可满足性问题的复杂度如何？
• RQ4 该不可判定性结果是否可推广至带有单个一元未解释谓词的有序实数上的线性算术？
• RQ5 该不可判定性对自动推理和验证逻辑（如分离逻辑与数组理论）有何影响？

主要发现

• 带有单个一元未解释谓词的Presburger算术的纯全称片段是不可判定的，因为不可满足句子的集合是Σ⁰₁完全的。
• 即使限制在Horn子句中，该不可判定性结果依然成立，表明问题并非源于复杂的逻辑结构。
• 具有单个∀∃量词交替的句子的可满足性问题是Σ¹₁难的，强化了Halpern早期的结果。
• 不可判定性结果可推广至带有单个一元未解释谓词的有序实数上的线性算术。
• 对于纯全称和纯存在量词片段，存在归谬完备的演绎演算系统，但对于具有无限制∀∃交替的片段，不存在此类系统。
• 结果表明，某些分离逻辑片段、数组理论以及等式与受限整数算术的组合系统是不可判定的，且可能缺乏可靠且完备的证明系统。