[论文解读] The Unpolarized and Polarized Single-Mass Three-Loop Heavy Flavor Operator Matrix Elements $A_{gg, Q}$ and $Delta A_{gg, Q}$

Jakob Ablinger, Arnd Behring+6 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Electron Spin Resonance Studies被引用 1

一句话总结

本论文在单重重夸克质量极限下，利用先进的符号与解析技术，完整计算了未极化与极化情形下的三圈重胶子算符矩阵元 $A_{gg,Q}$ 和 $\Delta A_{gg,Q}$。结果以梅林 $N$-空间与动量分数 $x$-空间表示，包含有限二项式与反二项式求和、平方根字母表上的迭代积分，以及复平面上的解析延拓，完成了在三圈阶次下单重与双重质量变味数方案（VFNS）中的胶子跃迁矩阵元。

ABSTRACT

We calculate the gluonic massive operator matrix elements in the unpolarized and polarized cases, $A_{gg,Q}(x,μ^2)$ and $ΔA_{gg,Q}(x,μ^2)$, at three-loop order for a single mass. These quantities contribute to the matching of the gluon distribution in the variable flavor number scheme. The polarized operator matrix element is calculated in the Larin scheme. These operator matrix elements contain finite binomial and inverse binomial sums in Mellin $N$-space and iterated integrals over square root-valued alphabets in momentum fraction $x$-space. We derive the necessary analytic relations for the analytic continuation of these quantities from the even or odd Mellin moments into the complex plane, present analytic expressions in momentum fraction $x$-space and derive numerical results. The present results complete the gluon transition matrix elements both of the single- and double-mass variable flavor number scheme to three-loop order.

研究动机与目标

• 计算单重重夸克质量下未极化与极化情形的三圈重胶子算符矩阵元 $A_{gg,Q}$ 与 $\Delta A_{gg,Q}$。
• 在三圈阶次下，完成变味数方案（VFNS）中单重与双重质量情形的胶子跃迁矩阵元。
• 在梅林 $N$-空间与动量分数 $x$-空间中推导出解析表达式，包含有限二项式与反二项式求和，以及对平方根值字母表的迭代积分。
• 提供梅林矩量在复平面上的解析延拓，并给出用于高精度现象学的数值表示。

提出的方法

• 计算基于差环理论的符号求和技术，使用 Sigma、EvaluateMultisums、SumProduction 与 HarmonicSums 等软件包。
• 该方法结合广义超几何函数、梅林-巴恩斯积分、常微分方程与 Almkvist-Zeilberger 算法，将问题约化为嵌套求和。
• 结果以梅林 $N$-空间中的同步求和-乘积表示形式给出，复 $N$-平面的解析延拓通过函数关系推导得出。
• 对于两个图，问题在 $x$-空间中直接求解，$N$-空间表示则由 $x$-空间结果重构。
• 计算避免依赖特殊主积分基，转而采用直接求和与积分技术。
• 最终表达式通过数值检验，并与已知的两圈结果及微扰预期进行交叉验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单质量极限下，重胶子算符矩阵元 $A_{gg,Q}$ 与 $\Delta A_{gg,Q}$ 的三圈解析表达式为何？
• RQ2 这些 OME 的梅林矩量如何在复平面上进行解析延拓，以用于物理应用？
• RQ3 这些 OME 的 $x$-空间表示结构为何，特别是关于迭代积分与有限二项式求和的结构？
• RQ4 这些结果如何完成变味数方案（VFNS）中胶子分布的三圈匹配？
• RQ5 所推导的解析表达式在现象学应用中的数值精度与效率如何？

主要发现

• 在单重与双重质量 VFNS 中，三圈未极化与极化算符矩阵元 $A_{gg,Q}$ 与 $\Delta A_{gg,Q}$ 已完整计算，完成了三圈阶次下的胶子跃迁矩阵元。
• 在梅林 $N$-空间中，结果以包含有限二项式与反二项式求和的同步求和-乘积形式表示，复 $N$-平面的解析延拓已推导得出。
• 在 $x$-空间中，结果以平方根值字母表上的迭代积分为形式给出，由于长度原因，完整结构以计算机可读的辅助文件形式提供。
• 通过快速且精确的表示形式实现了结果的数值计算，支持高精度现象学应用。
• 结果与三圈阶次下异常维数与 OME 的预期结构一致，不同阶次与方案间的交叉一致性检验通过。
• 计算完全为解析形式，不依赖主积分基，而是基于专用软件包中实现的符号求和与积分技术。