[论文解读] The unramified inverse Galois problem and cohomology rings of totally imaginary number fields

Magnus Carlson, Tomer M. Schlank|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文在平展上同调中引入了更高同伦理论的障碍，以解决具有完美核的嵌入问题，将其应用于无分歧逆伽罗瓦问题。证明了对于一类无限的全虚二次数域，$\operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(2,q^2))$ 无法作为无分歧伽罗瓦群实现，尽管其最大可解商群可以实现，这是通过计算其整数环的 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-上同调环得出的。

ABSTRACT

We employ methods from homotopy theory to define new obstructions to solutions of embedding problems. By using these novel obstructions we study embedding problems with non-solvable kernel. We apply these obstructions to study the unramified inverse Galois problem. That is, we show that our methods can be used to determine that certain groups cannot be realized as the Galois groups of unramified extensions of certain number fields. To demonstrate the power of our methods, we give an infinite family of totally imaginary quadratic number fields such that $ ext{Aut}( ext{PSL}(2,q^2))$ for $q$ an odd prime power, cannot be realized as an unramified Galois group over $K,$ but its maximal solvable quotient can. To prove this result, we determine the ring structure of the étale cohomology ring $H^*( ext{Spec }\mathcal{O}_K;\mathbb{Z}/ 2\mathbb{Z})$ where $\mathcal{O}_K$ is the ring of integers of an arbitrary totally imaginary number field $K.$

研究动机与目标

• 开发有限群上同调群中嵌入问题的新障碍，特别是针对经典方法失效的完美（非交换）核。
• 将这些障碍应用于无分歧逆伽罗瓦问题，确定哪些有限群可作为数域无分歧扩张的伽罗瓦群出现。
• 计算全虚数域 $ K $ 的 $ H^*(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) $ 的环结构，从而实现上同调障碍。
• 证明对于奇素数幂 $ q $，$ \operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(2,q^2)) $ 无法作为某些全虚二次域上的无分歧伽罗瓦群实现，尽管其最大可解商群可以。

提出的方法

• 构造更高障碍 $ o_n^a \in H^{n+1}(\Gamma, H_n(P,A)) $，其中 $ n \geq 2 $，推广经典 $ H^2 $ 障碍至非阿贝尔核。
• 使用交叉模对 $ n=2 $ 的障碍 $ o_2^a \in H^3(\Gamma, H_2(P,A)) $ 给出初等构造，避免使用完整的同伦理论工具。
• 将障碍理论应用于全虚数域 $ K $ 的无分歧伽罗瓦群 $ \Gamma_K^{ur} $，利用 $ H^1(\Gamma_K^{ur}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2 $ 的结构。
• 通过与 $ \operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}_X, \mathbb{G}_{m,X})^\sim $ 的对偶性，计算 $ H^*(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) $ 的环结构，将其与类群和范数映射联系起来。
• 利用阿廷互反律和类群上的范数映射，确定如 $ x \cup x \cup y $ 这类上积何时为零，以检测非平凡上同调类。
• 建立 $ x \cup x \neq 0 $ 的判别准则，其条件为范数映射 $ N_{L|K}: \operatorname{Cl}(L) \to \operatorname{Cl}(K) $ 的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 更高上同调障碍能否检测到在有限群伽罗瓦群中具有完美核的嵌入问题的不可解性？
• RQ2 对于哪些全虚数域 $ K $，$ \operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(2,q^2)) $ 可作为 $ K $ 上的无分歧伽罗瓦群实现？
• RQ3 任意全虚数域 $ K $ 的平展上同调环 $ H^*(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) $ 的结构是什么？
• RQ4 在理想类群的哪些算术条件下，上积 $ x \cup x \cup y $ 在 $ H^3 $ 中为零或非零？
• RQ5 类群上范数映射 $ N_{L|K} $ 的失效如何与 $ H^2 $ 中上同调类的非平凡性相关？

主要发现

• 本文构造了一类新的更高障碍 $ o_n^a \in H^{n+1}(\Gamma, H_n(P,A)) $，其中 $ n \geq 2 $，将经典的 $ H^2 $ 障碍推广至非阿贝尔核。
• 证明了对于 $ q $ 为奇素数幂的情形，$ \operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(2,q^2)) $ 无法作为任何满足 $ H^1(\Gamma_K^{ur}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2 $ 且类群上范数像为真子群的全虚二次数域 $ K $ 上的无分歧伽罗瓦群实现。
• 通过与 $ \operatorname{Ext}^1 $ 群的对偶性及阿廷互反律，完全确定了任意全虚数域 $ K $ 的 $ H^*(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) $ 的环结构。
• 上积 $ x \cup x \in H^2(\Gamma_K^{ur}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) $ 非零当且仅当某个 $ 2 $-挠类群元素不在范数映射 $ N_{L|K}: \operatorname{Cl}(L) \to \operatorname{Cl}(K) $ 的像中。
• 障碍 $ x \cup x \cup y $ 恰好在 $ \operatorname{div}(d)/2 $ 属于范数映射像时为零，这等价于相应类群上的阿廷符号为零。
• 尽管 $ \operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(2,q^2)) $ 的最大可解商群可在相同域上实现，这表明障碍仅作用于群的非可解部分。