[论文解读] The Use of a Pruned Modular Decomposition for Maximum Matching Algorithms on Some Graph Classes

Guillaume Ducoffe, Alexandru Popa|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 4

一句话总结

本文提出了一种剪枝模块分解技术，可在所有剪枝商图阶数有界的图类上实现线性时间最大匹配。通过依次移除单顶点扩展（如悬挂点、反悬挂点、孪生点、全连接点和孤立点），该技术简化了模块分解结构，使通过针对模块的定制化剪枝规则实现高效匹配计算成为可能，其应用涵盖距离遗传图和模块树宽为1的图类。

ABSTRACT

We address the following general question: given a graph class C on which we can solve Maximum Matching in (quasi) linear time, does the same hold true for the class of graphs that can be modularly decomposed into C? As a way to answer this question for distance-hereditary graphs and some other superclasses of cographs, we study the combined effect of modular decomposition with a pruning process over the quotient subgraphs. We remove sequentially from all such subgraphs their so-called one-vertex extensions (i.e., pendant, anti-pendant, twin, universal and isolated vertices). Doing so, we obtain a "pruned modular decomposition", that can be computed in quasi linear time. Our main result is that if all the pruned quotient subgraphs have bounded order then a maximum matching can be computed in linear time. The latter result strictly extends a recent framework in (Coudert et al., SODA'18). Our work is the first to explain why the existence of some nice ordering over the modules of a graph, instead of just over its vertices, can help to speed up the computation of maximum matchings on some graph classes.

研究动机与目标

• 解决在模块分解为更简单组件的图类上以线性时间计算最大匹配的挑战。
• 克服最大匹配在模块分解的商运算下不被保持的局限性。
• 通过引入剪枝过程扩展现有框架，该过程在保持对匹配有用的结构特性的同时简化商图。
• 开发一个框架，使在比以往更广泛的图类上实现线性时间最大匹配成为可能，包括距离遗传图。
• 证明模块顺序（而不仅仅是顶点顺序）也可用于实现高效的最大匹配算法。

提出的方法

• 通过从商图中迭代移除单顶点扩展（悬挂点、反悬挂点、孪生点、全连接点和孤立点）来引入剪枝模块分解。
• 设计两条核心剪枝规则，分别针对与一个或除一个以外的所有其他模块相邻的悬挂点和反悬挂点模块。
• 证明剪枝模块分解可在 O(m log n) 时间内计算。
• 证明若所有剪枝商图的阶数有界，则最大匹配可在 O(n + m) 时间内计算。
• 利用悬挂点和反悬挂点模块的约化规则，在商图结构内高效模拟增广路径的计算。
• 通过将无环商图约化为环，并在模块对上使用基于边的动态规划，将该框架应用于无环商图。

实验结果

研究问题

• RQ1 当商图的大小无界时，模块分解框架能否扩展为以线性时间计算最大匹配？
• RQ2 在何种条件下，移除单顶点扩展能保持高效计算最大匹配的可行性？
• RQ3 能否在模块（特别是悬挂点和反悬挂点模块）上使用剪枝规则，实现在模块结构复杂的图类中的线性时间最大匹配？
• RQ4 该框架是否可实现对距离遗传图和模块树宽为1的图类的线性时间最大匹配？
• RQ5 与顶点顺序相比，模块顺序在支持高效最大匹配算法方面有何优势？

主要发现

• 剪枝模块分解可在 O(m log n) 时间内计算，为最大匹配提供了高效的预处理能力。
• 若所有剪枝商图的阶数有界，则最大匹配可在 O(n + m) 时间内计算，从而将适用范围扩展至此前未知的图类。
• 该框架首次为距离遗传图和模块树宽为1的图类提供了已知的线性时间最大匹配算法。
• 提出了一种新颖的反悬挂点模块约化规则，其复杂性出人意料，构成关键的技术贡献。
• 该框架支持在模块分解为环的图类上实现线性时间最大匹配，包括无环商图。
• 每个商图边的匹配基数可在 O(p) 时间内计算，其中 p 为模块数量，从而支持在模块对上高效进行动态规划。