[论文解读] The valence bond solid in quasicrystals

Anatol N. Kirillov, V. E. Korepin|ArXiv.org|Sep 11, 2009

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文在任意图上构建了广义量子海森堡反铁磁模型，证明当自旋与交错数构成的方程组存在非负整数解时，价键固态（VBS）态即为唯一基态。通过广义超几何函数、勒让德多项式及调和多项式，推导出范数与多点关联函数的精确表达式，并利用交换转移矩阵与球面上的积分恒等式，将方法拓展至一维链与准晶体系。

ABSTRACT

A generalized model of Heisenberg quantum antiferromagnet on an arbitrary graph is constructed so that the VBS is the unique ground state. The norm of the base state and equal time multi point correlation functions are computed in terms of generalized hyper geometric functions. For the one-dimensional periodic Heisenberg model we present a method of computing multi point correlation functions based on the study of a commuting family of transfer matrices. The connection of multi point correlators with Young tableaux and Gegenbauer polynomials is found.

研究动机与目标

• 建立广义海森堡反铁磁模型在任意图上价键固态（VBS）为唯一基态的条件。
• 以广义超几何函数与调和多项式为工具，推导VBS波函数范数及多点关联函数的精确表达式。
• 将形式化方法拓展至一维周期性链与准晶体系，通过交换转移矩阵实现关联函数的计算。
• 通过球面上的积分恒等式，建立关联函数与杨表及勒让德多项式之间的联系。
• 为经典与量子O(m)-海森堡模型在图上的统计和与关联函数计算提供通用框架。

提出的方法

• 在任意图Γ上，利用顶点处的自旋算符与边上的投影算符，构造广义海森堡哈密顿量。
• 引入与边相关联的交错数Mkl，并利用关联矩阵I定义方程组2S = I·M，以保证基态唯一性。
• 应用附录B中的定理B，通过球面积分推导关联函数生成函数的递推关系。
• 采用调和多项式Λ^{A_n} (n)作为勒让德多项式的多变量推广，用于关联函数的计算。
• 利用积分算子K_{M1,M2}，通过勒让德多项式与广义超几何级数展开，评估多点关联。
• 在一维链中应用交换转移矩阵，提供计算关联函数的替代方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种图结构与自旋配置条件下，广义海森堡反铁磁模型的VBS态为唯一基态？
• RQ2 如何在任意图上精确计算VBS波函数的范数与多点关联函数？
• RQ3 O(m)-海森堡模型的关联函数与杨表或勒让德多项式之间存在何种联系？
• RQ4 在一维链与准晶体系中，关联函数有何差异？交换转移矩阵在此过程中发挥何种作用？
• RQ5 能否通过涉及广义超几何函数的积分恒等式，推导出关联函数的生成函数？

主要发现

• 当且仅当方程组2S = I·M存在非负整数解Mkl时，VBS为唯一基态，其可解性取决于图的二分性与自旋和的条件。
• 对于二分图，该方程组在整数范围内有解当且仅当∑_{a∈A} sa = ∑_{b∈B} sb；对于非二分图，当且仅当∑_{l∈Γ} sl ∈ ℤ时有解。
• VBS波函数的范数与关联函数通过广义超几何函数及球面S^{m-1}上的积分表达。
• 在完全图上，O(m)-模型的关联函数由包含广义超几何级数F^{(p)}与自旋矢量点积乘积的复杂数学表达式给出。
• 在一维链中，交换转移矩阵提供了一种计算关联函数的替代方法，其结果与积分方法一致。
• 积分恒等式(B.20)推广了两点函数的计算方法，可通过递归分解实现高阶关联函数的计算。