[论文解读] The values of zeta functions composed by the Hurwitz and periodic zeta functions at integers

Takashi Nakamura|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2020

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一句话总结

本文研究了在整数自变量下由Hurwitz zeta函数和周期zeta函数组合而成的zeta函数的代数与算术性质。证明了这些函数在负整数及正偶数/奇数自变量下取值时，结果为有理数、$2\pi/q$ 的三角函数多项式，或 $\exp(2\pi i a)$ 的有理函数，且所有系数均为有理数。一个关键结果将 $Z(s, |a|)$ 与平稳自相似高斯过程的谱密度联系起来。

ABSTRACT

For $s \in {\mathbb{C}}$ and $0 < a <1$, let $ζ(s,a)$ and ${ m{Li}}_s (e^{2πia})$ be the Hurwitz and periodic zeta functions, repectively. For $0 < a \le 1/2$, put $Z(s,a) := ζ(s,a) + ζ(s,1-a)$, $P(s,a) := { m{Li}}_s (e^{2πia}) + { m{Li}}_s (e^{2πi(1-a)})$, $Y(s,a) := ζ(s,a) - ζ(s,1-a)$ and $O(s,a):= -i \bigl( { m{Li}}_s (e^{2πia}) - { m{Li}}_s (e^{2πi(1-a)}) \bigr)$. Let $n \ge 0$ be an integer and $b := r/q$, where $q>r>0$ are coprime integers. In this paper, we prove that the values $Z(-n,b)$, $π^{-2n-2} P(2n+2,b)$, $Y(-n,b)$ and $π^{-2n-1} O(2n+1,b)$ are rational numbers, in addition, $π^{-2n-2} Z(2n+2,b)$, $P(-n,b)$, $π^{-2n-1} Y(2n+1,b)$ and $O(-n,b)$ are polynomials of $\cos (2π/q)$ and $\sin (2π/q)$ with rational coefficients. Furthermore, we show that $Z(-n,a)$, $π^{-2n-2} P(2n+2,a)$, $Y(-n,a)$ and $π^{-2n-1} O(2n+1,a)$ are polynomials of $0

研究动机与目标

• 确定由 Hurwitz 与周期 zeta 函数构成的 zeta 函数在整数自变量下的特殊值的代数性质。
• 刻画 $Z(s,a)$、$P(s,a)$、$Y(s,a)$ 与 $O(s,a)$ 在负整数与正整数下的算术结构。
• 以具有有理系数的三角函数与指数和表达这些值的显式代数表达式。
• 将平稳自相似高斯过程的谱密度与 $Z(s, |a|)$ 联系起来。

提出的方法

• 定义对称与反对称组合：$Z(s,a) = \zeta(s,a) + \zeta(s,1-a)$，$P(s,a) = \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) + \text{Li}_s(e^{2\pi i (1-a)})$，$Y(s,a) = \zeta(s,a) - \zeta(s,1-a)$，以及 $O(s,a) = -i(\text{Li}_s(e^{2\pi i a}) - \text{Li}_s(e^{2\pi i (1-a)}))$。
• 利用伯努利数与第二类斯特林数的已知特殊值，计算 $\zeta(-n,a)$ 与 $\text{Li}_{-n}(e^{2\pi i a})$。
• 应用函数方程与解析延拓，将结果推广至正整数。
• 利用代数数论与三角恒等式，将值表示为 $\cos(2\pi/q)$、$\sin(2\pi/q)$ 与 $\exp(2\pi i a)$ 的形式。
• 证明对于有理数 $b = r/q$，有 $\pi^{-2n-2}Z(2n+2,b)$、$P(-n,b)$、$\pi^{-2n-1}Y(2n+1,b)$ 与 $O(-n,b)$ 均为具有有理系数的多项式或有理函数。
• 通过恒等式 $\sum_{n \in \mathbb{Z}} |n + \alpha|^{-s} = Z(s, |\alpha|)$ 证明 $Z(s,a)$ 作为平稳自相似高斯分布的谱密度出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有理数 $b = r/q$，$Z(-n,b)$、$P(2n+2,b)$、$Y(-n,b)$ 与 $O(2n+1,b)$ 的代数性质是什么？
• RQ2 对于 $a \in (0,1)$，$\pi^{-2n-2}Z(2n+2,a)$、$P(-n,a)$、$\pi^{-2n-1}Y(2n+1,a)$ 与 $O(-n,a)$ 如何依赖于 $a$？
• RQ3 在何种条件下，对所有 $0 < a < 1/2$，有 $P(s,a) \equiv 0$？
• RQ4 能否用 $Z(s,|a|)$ 表示平稳自相似高斯过程的谱密度？

主要发现

• 对于 $0 < a \leq 1/2$ 与非负整数 $n$，值 $Z(-n,a)$、$\pi^{-2n-2}P(2n+2,a)$、$Y(-n,a)$ 与 $\pi^{-2n-1}O(2n+1,a)$ 是具有有理系数的 $a$ 的多项式。
• 对于满足 $q > r \geq 1$ 且互素的有理数 $b = r/q$，值 $Z(-n,b)$、$\pi^{-2n-2}P(2n+2,b)$、$Y(-n,b)$ 与 $\pi^{-2n-1}O(2n+1,b)$ 均为有理数。
• $\pi^{-2n-2}Z(2n+2,b)$、$P(-n,b)$、$\pi^{-2n-1}Y(2n+1,b)$ 与 $O(-n,b)$ 是具有有理系数的 $\cos(2\pi/q)$ 与 $\sin(2\pi/q)$ 的多项式。
• $\pi^{-2n-2}Z(2n+2,a)$、$P(-n,a)$、$\pi^{-2n-1}Y(2n+1,a)$ 与 $O(-n,a)$ 对于 $a \in (0,1)$ 是具有有理系数的 $\exp(2\pi i a)$ 的有理函数。
• $P(s,a) \equiv 0$ 对所有 $0 < a < 1/2$ 成立，当且仅当 $s$ 为负偶数。
• 平稳自相似高斯过程的谱密度为 $\rho_\lambda(\alpha) = C|e^{2\pi i \alpha} - 1|^2 Z(\lambda, |\alpha|)$，从而确认 $Z(s, |a|)$ 是此类过程的谱密度。