[论文解读] The van Dommelen and Shen singularity in the Prandtl equations

Igor Kukavica, Vlad Vicol+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文严格证明了在非平凡欧拉背景流下，二维普朗特边界层方程的解在有限时间内发生爆破，证实了范东梅伦与沈（1980年）提出的数值奇点猜想。通过构造一个李雅普诺夫泛函及精心设计的权函数，作者表明边界层厚度在有限时间内坍缩，标志着边界层分离，且此后普朗特层展开不再成立。

ABSTRACT

In 1980, van Dommelen and Shen provided a numerical simulation that predicts the spontaneous generation of a singularity in the Prandtl boundary layer equations from a smooth initial datum, for a nontrivial Euler background. In this paper we provide a proof of this numerical conjecture by rigorously establishing the finite time blowup of the boundary layer thickness.

研究动机与目标

• 严格建立普朗特边界层方程在非平凡欧拉背景流下的有限时间奇点形成，与范东梅伦和沈（1980年）的数值预测一致。
• 解决长期悬而未决的开放问题：在无粘极限下，普朗特层展开是否可对任意长时间保持有效？
• 证明边界层的位移厚度在有限时间内趋于奇异，表明边界层发生分离。
• 构造一个在有限时间内爆破的李雅普诺夫泛函，从而证明解的正则性丧失。

提出的方法

• 作者构造了一个李雅普诺夫泛函 $\mathcal{G}(t)$，用于追踪解的能量及其导数的演化。
• 在能量估计中引入一个精心设计的权函数 $w(y)$，该函数属于 $W^{2,\infty}$ 光滑类，并在 $[0,\infty)$ 上满足一组微分不等式。
• 该权函数通过拼接线性、二次和幂律分量构建，以确保正定性，并有效控制普朗特方程中的非线性项。
• 证明依赖于加权索伯列夫空间中的能量估计，权函数的设计旨在捕捉解在边界附近导数的增长行为。
• 关键步骤包括验证所构造的权函数满足一组微分不等式（2.28）–（2.40），特别是关于二阶导数的关键条件（2.31）。
• 通过调节参数 $r$、$B$、$M$ 和 $\varepsilon$ 完成构造，确保所有条件均被满足，其中 $r=2$，$B=50$，$M=9/10$，$\varepsilon$ 足够小。

实验结果

研究问题

• RQ1 当底层欧拉流为非平凡时，普朗特边界层方程是否如范东梅伦与沈的数值模拟所暗示的那样，在有限时间内形成奇点？
• RQ2 若普朗特解可能爆破，那么在无粘极限下，纳维-斯托克斯方程是否仍能用普朗特层展开描述任意长时间？
• RQ3 位移厚度 $\delta^*(t,x)$ 是否是边界层分离的可靠指标，且是否在有限时间内趋于奇异？
• RQ4 能否构造一个李雅普诺夫泛函，使其爆破可推出普朗特解的有限时间正则性丧失？

主要发现

• 本文证明，对于一大类实解析初值，当非平凡欧拉流为 $U^E = \kappa \sin x$ 时，普朗特方程的解在有限时间内爆破。
• 爆破现象通过一个控制解中导数增长的李雅普诺夫泛函 $\mathcal{G}(t)$ 发散得到证实。
• 位移厚度 $\delta^*(t,x)$ 在有限时间内趋于奇异，表明边界层从壁面分离。
• 通过参数 $r=2$、$B=50$、$M=9/10$ 和小量 $\varepsilon$ 构造的权函数 $w(y)$，确保了所有所需的微分不等式均被满足。
• 该证明表明，普朗特层展开无法对任意长时间保持有效，因为解在无粘极限可被完全描述之前即已失去正则性。
• 该结果通过严格的分析证明，解决了长期悬而未决的问题，证实了范东梅伦与沈（1980年）的数值猜想。