[论文解读] The Variable Coefficient Thin Obstacle Problem: Higher Regularity

Herbert Koch, Angkana Rüland+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 8

一句话总结

本文通过部分Hodograph-Legendre变换与隐函数定理，建立了变系数薄障碍问题中自由边界的更高正则性。研究证明，与系数正则性相比，正则自由边界在Hölder正则性上获得了高达一个半导数的提升，且在解析度量下为解析函数，将正则性理论扩展至标准$W^{1,p}$设定之外（$p>n+1$）。分析依赖于广义Hölder空间及与Baouendi-Grushin算子相关的内在几何结构。

ABSTRACT

In this article we continue our investigation of the thin obstacle problem with variable coefficients which was initiated in \cite{KRS14}, \cite{KRSI}. Using a partial Hodograph-Legendre transform and the implicit function theorem, we prove higher order Hölder regularity for the regular free boundary, if the associated coefficients are of the corresponding regularity. For the zero obstacle this yields an improvement of a \emph{full derivative} for the free boundary regularity compared to the regularity of the metric. In the presence of non-zero obstacles or inhomogeneities, we gain \emph{three halves of a derivative} for the free boundary regularity with respect to the regularity of the inhomogeneity. Further we show analyticity of the regular free boundary for analytic metrics. We also discuss the low regularity set-up of $W^{1,p}$ metrics with $p>n+1$ with and without ($L^p$) inhomogeneities. Key new ingredients in our analysis are the introduction of generalized Hölder spaces, which allow to interpret the transformed fully nonlinear, degenerate (sub)elliptic equation as a perturbation of the Baouendi-Grushin operator, various uses of intrinsic geometries associated with appropriate operators, the application of the implicit function theorem to deduce (higher) regularity and the splitting technique from \cite{KRSI}.

研究动机与目标

• 建立变系数薄障碍问题中正则自由边界的高阶Hölder正则性。
• 量化自由边界相对于系数张量场$a^{ij}$正则性的正则性增益。
• 将正则性结果扩展至非零障碍与非齐次项的情形，并分析解析度量下自由边界的解析性。
• 处理$W^{1,p}$系数的低正则性设定（$p>n+1$），包括$ L^p$非齐次项的情形。
• 发展并应用与Baouendi-Grushin算子相关的广义Hölder空间及内在几何结构，以处理退化次椭圆方程。

提出的方法

• 应用部分Hodograph-Legendre变换，将完全非线性、退化的（次）椭圆方程转化为Baouendi-Grushin算子的扰动形式。
• 引入适配于Baouendi-Grushin算子内在几何结构的广义Hölder空间，以控制变换后解的正则性。
• 在合适的函数空间框架中应用隐函数定理，从系数场的正则性推导出自由边界的更高正则性。
• 利用[KRS15b]中的分裂技巧，将自由边界分析分解为正则部分与奇异部分。
• 在广义Hölder空间中建立Baouendi-Grushin拉普拉斯算子的核估计与映射性质，以控制线性化问题。
• 在子黎曼几何设定下应用对偶性与Sobolev嵌入，推导线性化方程解的$L^p$与Hölder估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在变系数薄障碍问题中，自由边界相对于系数正则性能获得多大程度的正则性增益？
• RQ2 当度量张量为解析函数时，能否证明自由边界为解析函数？
• RQ3 在存在非零障碍或非齐次项时，自由边界的正则性如何？其与非齐次项正则性的关系如何？
• RQ4 分析能否扩展至$W^{1,p}$系数的低正则性设定（$p>n+1$）？
• RQ5 隐函数定理能否应用于完全非线性、退化的设定中，以推导自由边界的正则性？

主要发现

• 在零障碍情形下，正则自由边界相对于系数正则性在Hölder正则性上获得了整整一个导数的提升。
• 在存在非零障碍或非齐次项时，自由边界相对于非齐次项正则性的Hölder正则性提升了$\frac{3}{2}$个导数。
• 若系数张量场$a^{ij}$为解析函数，则正则自由边界为解析函数。
• 该方法可扩展至$W^{1,p}$系数的低正则性设定（$p>n+1$），在适当假设下可获得自由边界的Hölder正则性。
• 广义Hölder空间与Baouendi-Grushin算子的内在几何结构使得变换后的方程可被视为已知次椭圆算子的扰动。
• 在广义Hölder设定下，建立了Baouendi-Grushin拉普拉斯算子的核估计，支持了隐函数定理所需的$L^p$与Hölder映射性质。