[论文解读] The Variable Coefficient Thin Obstacle Problem: Optimal Regularity and Regularity of the Regular Free Boundary

Herbert Koch, Angkana Rüland+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用 5

一句话总结

该论文在低正则性框架下建立了变系数薄障碍问题中解的最优正则性，并证明了在 $W^{1,p}$ 度量（$p > n+1$）下，正则自由边界的 $C^{1,α}$ 正则性。通过引入 Reifenberg 平坦性论证和一种新颖的解分解技术，推导出了解在正则自由边界点附近的主导阶渐近展开，并证明了解的最优 $C^{1,\min\{1-\frac{n+1}{p},\frac{1}{2}\}}$ 正则性。

ABSTRACT

This article deals with the variable coefficient thin obstacle problem in $n+1$ dimensions. We address the regular free boundary regularity, the behavior of the solution close to the free boundary and the optimal regularity of the solution in a low regularity set-up. We first discuss the case of zero obstacle and $W^{1,p}$ metrics with $p\in(n+1,\infty]$. In this framework, we prove the $C^{1,α}$ regularity of the regular free boundary and derive the leading order asymptotic expansion of solutions at regular free boundary points. We further show the optimal $C^{1,\min\{1-\frac{n+1}{p}, \frac{1}{2}\}}$ regularity of solutions. New ingredients include the use of the Reifenberg flatness of the regular free boundary, the construction of an (almost) optimal barrier function and the introduction of an appropriate splitting of the solution. Important insights depend on the consideration of various intrinsic geometric structures. Based on variations of the arguments in \cite{KRS14} and the present article, we then also discuss the case of non-zero and interior thin obstacles. We obtain the optimal regularity of the solutions and the regularity of the regular free boundary for $W^{1,p}$ metrics and $W^{2,p}$ obstacles with $p\in (2(n+1),\infty]$.

研究动机与目标

• 在低正则性框架下建立变系数薄障碍问题解的最优正则性。
• 在 $W^{1,p}$ 度量假设（$p > n+1$）下证明正则自由边界的 $C^{1,\alpha}$ 正则性。
• 推导解在正则自由边界点附近的主导阶渐近展开。
• 将结果推广至非零和内部薄障碍情形，其中度量为 $W^{1,p}$，障碍为 $W^{2,p}$，且 $p > 2(n+1)$。

提出的方法

• 利用正则自由边界的 Reifenberg 平坦性构造（近乎）最优尺度的障碍函数。
• 引入解分解技术以处理散度型右端项，并分离主导阶贡献。
• 应用 Carleson 估计与边界 Harnack 估计以控制谐测度及自由边界附近的增长。
• 通过修改函数 $v_{x_0}(x) = w(x) - \tilde{b}(x_0)x_{n+1}$ 进行爆破分析，研究消去阶数与渐近行为。
• 使用带权函数 $e^{\tau \tilde{\phi}(\ln r)}$ 的修改版 Carleman 估计，控制环形区域内的 $L^2$ 范数。
• 通过三角不等式与度量的 $C^{0,\alpha}$ 正则性，建立法向导数 $\tilde{b}(x_0) = \partial_{n+1}w(x_0^+)$ 的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $W^{1,p}$ 度量下（$p > n+1$），变系数薄障碍问题的解的最优正则性是什么？
• RQ2 在相同度量假设下，正则自由边界是否具有 $C^{1,\alpha}$ 正则性？
• RQ3 解在正则自由边界点附近的主导阶渐近行为如何？
• RQ4 当障碍为非零和内部薄障碍，且度量为 $W^{1,p}$、障碍为 $W^{2,p}$ 时，解与自由边界的正则性如何扩展？
• RQ5 能否对法向导数 $\partial_{n+1}w$ 的渐近展开进行量化，并确立其正则性？

主要发现

• 在 $W^{1,p}$ 度量设定下（$p > n+1$），解 $w$ 达到了最优正则性 $C^{1,\min\{1-\frac{n+1}{p},\frac{1}{2}\}}$。
• 正则自由边界 $\Gamma_w$ 具有 $C^{1,\alpha}$ 正则性，该结论通过 Reifenberg 平坦性与障碍构造得以确立。
• 在正则自由边界点附近，解具有涉及函数 $G_{x_0}(x)$ 的主导阶渐近展开，该函数依赖于度量与法向导数。
• 法向导数 $\tilde{b}(x_0) = \partial_{n+1}w(x_0^+)$ 在 $3/2$ 阶自由边界集上被证明具有 $C^{0,\frac{1}{2}+\alpha}$ 正则性。
• 对于非零和内部薄障碍，当度量为 $W^{1,p}$ 且障碍为 $W^{2,p}$（$p > 2(n+1)$）时，解达到最优 $C^{1,\min\{1-\frac{n+1}{p},\frac{1}{2}\}}$ 正则性。
• 基于 $v_{x_0}(x) = w(x) - \tilde{b}(x_0)x_{n+1}$ 的爆破分析确保了爆破极限的唯一性，并使渐近估计可传递至原解 $w$。