[论文解读] The Variance-Gamma Distribution: A Review

Adrian G. Fischer, Robert E. Gaunt+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2023

Stochastic processes and financial applications被引用 13

一句话总结

对方差-伽玛（VG）分布的全面、最新综述，详述其分布理论、表示、估计及应用，并与GH分布和Wiener空间的联系。

ABSTRACT

The variance-gamma (VG) distributions form a four-parameter family which includes as special and limiting cases the normal, gamma and Laplace distributions. Some of the numerous applications include financial modelling and distributional approximation on Wiener space. In this review, we provide an up-to-date account of the basic distributional theory of the VG distribution. Properties covered include probability and cumulative distribution functions, generating functions, moments and cumulants, mode and median, Stein characterisations, representations in terms of other random variables, and a list of related distributions. We also review methods for parameter estimation and some applications of the VG distribution, including the aforementioned applications to financial modelling and distributional approximation on Wiener space.

研究动机与目标

• 在单一参考中总结 VG 分布的基本分布理论。
• 整合 PDF、CDF、矩、累积量以及关键性质的公式。
• 讨论表示、无限可分性、自分解性以及相关分布。
• 回顾参数估计方法及在金融和 Wiener 空间中的应用。

提出的方法

• 给出 VG 的 PDF 参数化 VG(r, θ, σ, μ) 及其极限形式。
• 推导并列出分布性质：在特殊情况下的 CDF、生成函数、矩、累积量，以及众数/中位数。
• 给出 VG 相对于正态变量和伽玛变量的表示，以及作为伽玛之差的形式。
• 通过 Lévy 密度和 Lévy–Khintchine 形式解释无限可分性和自分解性。
• 描述与 GH 分布及其他相关分布的联系。
• 总结参数估计方法以及在金融和 Wiener 空间中的关键应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 VG(r, θ, σ, μ) 在不同参数区间下的基本分布性质是什么？
• RQ2 VG 如何用更简单的随机变量（正态、伽玛、卡方）表示，这对理论与仿真有何影响？
• RQ3 VG 与相关分布（GH、CGMY、Laplace、Gamma）及其极限情况之间有什么关系？
• RQ4 VG 如何用于估计与应用建模，尤其是在金融和 Wiener 空间的分布近似中？
• RQ5 哪些 Stein 特征化和卷积性质有助于 VG 的理论与应用？

主要发现

• VG 是一个四参数家族，推广了正态、伽马和拉普拉斯分布。
• VG 是无限可分且自分解的，其 Lévy 密度给出特定的指数形式。
• VG 可以表示为正态-方差-均值混合，以及作为伽玛/卡方分量的和或差的形式。
• 只有在特殊情形存在解析形式的 CDF；一般情形需要渐近尾部和特殊函数表示。
• VG 作为 GH 分布和 CGMY 的极限情形出现，并通过正态方差-均值混合表示与多变量 VG 形式相连接。
• VG 包含若干对仿真和推断有用的精确表示（例如 VG 来自伽玛和正态变量；在特殊情形下的乘积/比率形式）。