[论文解读] The variance of the Stirling cycle numbers

Herbert S. Wilf|ArXiv.org|Nov 17, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文推导了两个在 $ n $ 个元素上均匀随机选取的排列具有相同循环数的渐近概率，表明当 $ n $ 较大时，该概率以 $ \sim \frac{1}{2\sqrt{\pi \log n}} $ 的速率衰减。作者使用复分析和涉及 Gamma 函数的积分表示，计算了 Stirling 循环数平方和，将其与调和数及渐近 Laplace 方法联系起来。

ABSTRACT

We show that the probability that two permutations of $n$ letters have the same number of cycles is \[\sim \frac{1}{2\sqrt{π\log{n}}}.\]

研究动机与目标

• 确定 Stirling 循环数平方和 $ \sum_k {n \brack k}^2 $ 的渐近行为，该和表示具有相同循环数的排列对的数量。
• 解决 Miklós Bóna 提出的问题：两个 $ n $ 个元素的随机排列具有相同循环数的概率是多少。
• 应用复分析和积分变换来计算和 $ f(n) = \sum_k {n \brack k}^2 $，将其与 Gamma 函数和调和数联系起来。
• 建立 $ f(n) $ 的精确渐近增长速率，从而得出循环数巧合的概率。

提出的方法

• 利用恒等式 $ \sum |a_k|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |g(e^{i\theta})|^2 d\theta $，将 $ f(n) = \sum_k {n \brack k}^2 $ 表示为三角积分，其中 $ g(z) = \prod_{j=0}^{n-1} (z + j) $。
• 将积分用 $ e^{i\theta} $ 表示，提取出 $ (n-1)!^2 $，并通过 $ e^{2H_{n-1}\cos\theta} $ 引入调和数 $ H_{n-1} $。
• 应用 Gamma 函数的无穷乘积表示，将剩余乘积表示为 $ \left| \frac{e^{-\gamma e^{i\theta}}}{e^{i\theta} \Gamma(e^{i\theta})} \right|^2 $，忽略低阶项。
• 利用 Gamma 函数的渐近展开和恒等式 $ \Gamma(e^{i\theta}) \sim \text{解析函数} $，将被积函数简化为 $ \frac{e^{2(\cos\theta - 1)\log n}}{|\Gamma(e^{i\theta})|^2} $。
• 对所得积分 $ I(n) = \int_0^{2\pi} \frac{e^{2(\cos\theta - 1)\log n}}{|\Gamma(e^{i\theta})|^2} d\theta $ 应用 Laplace 方法，证明 $ I(n) \sim \sqrt{\frac{\pi}{\log n}} $。
• 结合阶乘增长，推导出 $ f(n) \sim \frac{n!^2}{2\sqrt{\pi \log n}} $，从而得出最终的概率结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ n \to \infty $ 时，两个独立且均匀随机选取的 $ n $ 个元素的排列具有相同循环数的渐近概率是多少？
• RQ2 Stirling 循环数平方和 $ \sum_k {n \brack k}^2 $ 随 $ n $ 的增长方式如何？
• RQ3 能否使用复分析和特殊函数对 $ \sum_k {n \brack k}^2 $ 的积分表示进行渐近求值？
• RQ4 Gamma 函数在循环数和的渐近求值中起到什么作用？
• RQ5 调和数 $ H_{n-1} $ 如何影响随机排列中循环数的分布？

主要发现

• 当 $ n \to \infty $ 时，Stirling 循环数平方和满足 $ f(n) = \sum_k {n \brack k}^2 \sim \frac{n!^2}{2\sqrt{\pi \log n}} $。
• 两个 $ n $ 个元素的随机排列具有相同循环数的概率渐近为 $ \sim \frac{1}{2\sqrt{\pi \log n}} $。
• 积分 $ I(n) = \int_0^{2\pi} \frac{e^{2(\cos\theta - 1)\log n}}{|\Gamma(e^{i\theta})|^2} d\theta $ 的主要贡献来自 $ \theta = 0 $ 附近，此处指数取最大值。
• 通过 Laplace 方法对 $ I(n) $ 的渐近求值得到 $ I(n) \sim \sqrt{\frac{\pi}{\log n}} $，这驱动了 $ f(n) $ 的最终渐近表达式。
• 该结果通过复分析、Gamma 函数的无穷乘积表示以及振荡积分的渐近分析联合推导得出。
• 最终概率衰减缓慢，类似于 $ n $ 的对数的平方根的倒数，表明即使对于较大的 $ n $，循环数巧合的概率仍不可忽略。