[论文解读] The variational principle for dust shells

V. D. Gladush|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2000

Cosmology and Gravitation Theories被引用 1

一句话总结

本文通过将真空区域的York-Gibbons-Hawking作用量与尘埃物质及匹配条件的边界项相结合，为广义相对论中的薄尘埃壳层构建了一个变分原理。它推导出自然边界条件，这些条件作为约束，使球对称系统的作用量得以完全约化，并得出两个等效的有效作用量——分别从壳层内部和外部观察者的视角描述壳层，从而消除了引力自由度，并通过等距条件建立了哈密顿约束。

ABSTRACT

Variational principles for thin dust shells are considered in Newtonian theory of gravity, and for charged shells in Special Relativity. We propose the variational principle for thin massive dust shells in General Relativity and study the results following from it. The configuration, being considered, can be thought of as the two vacuum regions with the dust shell as the boundary surface between them. The full action of the system we take as the sum of actions in the form of the York-Gibbons-Hawking type for both regions and of the boundary term containing the action of the dust matter and of the corresponding matching surface term. The variational principle is compatible with the boundary-value problem of the Euler-Lagrange equations for either regions of the configuration, and leads to ”natural boundary conditions ” on the shell. These conditions can be considered as the constraints, and, together with the gravitational field equations, are used for elimination of the gravitational degrees of freedom. The full reduction of the action are performed here for spherically-symmetric systems. By transforming the variational formula it is shown that the obtained action with constraints is equivalent to the two variants of the effective action without constraints for a particle with self-action moving in the external gravitational field. One of these variants describes the shell from the interior resting observer’s point of view, another from the exterior one. The conditions of isometry of the exterior and interior sides of the shell lead to the Hamiltonian constraints. I.

研究动机与目标

• 为广义相对论中的薄质量尘埃壳层开发一个一致的变分原理。
• 通过引入自然边界条件，解决壳层处欧拉-拉格朗日方程的边值问题。
• 通过变分框架导出的约束，消除引力自由度。
• 将完整作用量约化为具有自相互作用的粒子在外部引力场中的有效、无约束作用量。
• 通过壳层内外两侧之间的等距条件，建立哈密顿约束。

提出的方法

• 将总作用量表述为两个真空区域的York-Gibbons-Hawking作用量之和，加上尘埃物质和匹配条件的边界项。
• 应用变分原理，推导出作用于壳层上的自然边界条件，这些条件作为约束。
• 在球对称情况下，利用对称性和几何约束，完成作用量的完全约化。
• 变换变分公式，以证明约束作用量与两个有效无约束作用量之间的等价性。
• 推导出两个等效的有效作用量：一个从壳层内部观察者的参考系出发，另一个从外部观察者的参考系出发。
• 利用壳层内外两侧之间的等距条件，推导出哈密顿约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为广义相对论中的薄尘埃壳层构建一个具有恰当边界条件的一致变分原理？
• RQ2 从变分原理中，壳层世界膜上自然出现哪些约束？
• RQ3 在球对称系统中，如何通过这些约束消除引力自由度？
• RQ4 约化后的作用量的物理等价性是什么？它如何表现为具有自相互作用的有效粒子作用量？
• RQ5 壳层内外两侧之间的等距条件如何导致哈密顿约束？

主要发现

• 该变分原理在尘埃壳层上产生自然边界条件，这些条件作为系统的约束。
• 这些约束与引力场方程结合，可在球对称构型中完全消除引力自由度。
• 完整作用量约化为两个无约束的等效有效作用量，描述壳层为在外部引力场中具有自相互作用的粒子。
• 一个有效作用量从壳层内部观察者的参考系描述壳层，另一个从外部观察者的参考系描述壳层。
• 壳层内外两侧的等距性导致哈密顿约束，确保边界处动力学的一致性。
• 两个有效作用量的等价性证实了该变分框架在不同参考系下的物理一致性。