[论文解读] The Vertical Slice Transform in Spherical Tomography

Boris Rubin|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2018

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文提出了球面层析成像中垂直切片变换的新反演公式及奇异值分解，适用于热声成像与光声成像。通过将该变换与超平面Radon变换关联，并利用解析延拓，实现了从垂直切片积分中显式重构球面上函数，解决了球面几何下Euler-Poisson-Darboux方程的反问题。

ABSTRACT

The vertical slice transform takes a function on the n-dimensional unit sphere to integrals of that function over spherical slices parallel to the last coordinate axis. This transform arises in thermoacoustic tomography. We obtain new inversion formulas for the vertical slice transform and its singular value decomposition. The results can be applied to the inverse problem for the Euler-Poisson-Darboux equation associated to the corresponding spherical means.

研究动机与目标

• 为 $n \geq 2$ 的单位球面 $S^n$ 上的球面层析成像中的垂直切片变换开发反演公式。
• 解决从平行于最后一维坐标轴的垂直超平面截面积分中重构函数的反问题。
• 通过变量替换与面积测度调整，将垂直切片变换与 $\mathbb{R}^n$ 中的超平面Radon变换关联起来。
• 利用解析延拓与奇异值分解，提供该变换的显式反演公式。
• 将结果应用于球面上Euler-Poisson-Darboux方程的反问题，特别是从赤道测量中重构初始数据。

提出的方法

• 定义垂直切片变换 $Vf$ 为函数 $f$ 沿平行于最后一维坐标轴的球面切片上的积分。
• 利用 $f$ 在最后一维变量上的偶性，将问题约化至上半球面，从而导出半球面变换 $V_+f$。
• 通过变量替换，将球面积分化为 $\mathbb{R}^n$ 中的Radon变换，其中 $\varphi(x') = f(x', \sqrt{1-|x'|^2}) / \sqrt{1-|x'|^2}$。
• 通过逆Radon变换 $R^{-1}$ 构造反演，得到 $f(x', x_{n+1}) = x_{n+1} \cdot (R^{-1}\Phi)(x')$，其中 $\Phi(\theta,t) = (V_+f)(\theta,t)/\sqrt{1-t^2}$。
• 对于 $n=2$，发展了一种基于解析延拓与对数势的替代方法，导出包含 $\Delta$ 与 $\log|t - \theta \cdot x'|$ 的积分公式。
• 通过在 $S^1 \times [-1,1]$ 上的二重积分显式反演变换，采用对数核并以 $\sqrt{1-t^2}$ 进行归一化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用欧氏空间中的已知变换，对 $n \geq 2$ 的 $S^n$ 上的垂直切片变换进行反演？
• RQ2 在 $\mathbb{R}^n$ 中，垂直切片变换与超平面Radon变换之间存在何种关系？
• RQ3 对于 $n=2$，能否通过解析延拓与位势理论构造垂直切片变换的反演？
• RQ4 垂直切片变换的奇异值分解如何反映其反演性质？
• RQ5 垂直切片变换与球面上Euler-Poisson-Darboux方程之间存在何种联系？

主要发现

• 证明了垂直切片变换 $Vf$ 与超平面Radon变换 $R\varphi$ 等价，关系式为 $(V_+f)(\theta,t) = \sqrt{1-t^2} \cdot (R\varphi)(\theta,t)$，其中 $\varphi$ 通过变量替换从 $f$ 导出。
• 对于 $n \geq 2$，函数 $f$ 可通过 $f(x', x_{n+1}) = x_{n+1} \cdot (R^{-1}\Phi)(x')$ 从 $Vf$ 显式重构，其中 $\Phi(\theta,t) = (V_+f)(\theta,t)/\sqrt{1-t^2}$，从而给出一般反演公式。
• 对于 $n=2$，推导出替代反演公式：$f(x) = \frac{|x_3|}{8\pi^2} \Delta \int_{S^1} d\sigma(\theta) \int_{-1}^1 (Vf)(\theta,t) \frac{\log|t - \theta \cdot x'|}{\sqrt{1-t^2}} dt$，该公式基于对数势与解析延拓。
• 显式计算了垂直切片变换的奇异值分解，揭示了其谱结构与稳定性性质。
• 将结果应用于Euler-Poisson-Darboux方程的反问题：球面上的初始数据 $f$ 可从解 $u(x,\omega)$ 在赤道 $S^{n-1}$ 上的限制重构，特别是当 $\alpha = (1-n)/2$ 时对应于波动方程。
• 该方法为固定半径 $0 < \theta \leq \pi/2$ 的测地球面提供了构造性反问题解法，将先前结果推广至更广泛的问题类别。