[论文解读] The Virtual Element Method with curved edges

L. Beirão da Veiga, A. Russo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文提出一种具有曲线边的虚拟元方法（VEM），用于在曲面区域上求解椭圆问题，通过采用曲边界参数化表示，实现最优收敛率。与采用直线边的标准VEM不同——后者因几何逼近导致高阶精度次优——所提方法通过使用具有曲线多边形单元的精确边界拟合，保持了最优收敛性。

ABSTRACT

In this paper we initiate the investigation of Virtual Elements with curved faces. We consider the case of a fixed curved boundary in two dimensions, as it happens in the approximation of problems posed on a curved domain or with a curved interface. While an approximation of the domain with polygons leads, for degree of accuracy $k \geq 2$, to a sub-optimal rate of convergence, we show (both theoretically and numerically) that the proposed curved VEM lead to an optimal rate of convergence.

研究动机与目标

• 解决标准虚拟元方法在使用直线边多边形网格逼近曲面区域时收敛性次优的问题。
• 通过采用边界参数化表示，构建包含曲线边的VEM框架，实现对几何边界的精确拟合。
• 通过消除多边形逼近引入的几何一致性误差，确保高阶方法（k ≥ 2）达到最优收敛率。
• 证明该方法在增加几何复杂性的情况下仍保持计算简便性，其实现方式与标准VEM相似。
• 将VEM的应用范围扩展至具有曲界面和复杂几何形状的问题，尤其适用于工程与科学模拟。

提出的方法

• 通过边界曲线的分段正则参数化定义曲线多边形单元，确保光滑性为 C^{m+1}（m ≥ 0）。
• 直接在物理空间上构造虚拟元空间，无需参考单元，从而保留VEM的关键特性——避免显式计算基函数。
• 采用弧长或单位速度参数化，以确保曲线边几何表示的一致性与稳定性。
• 推导曲面单元上离散双线性形式的插值估计与稳定性界，在标准假设下证明收敛性。
• 采用针对参数化边界表示量身定制的高阶积分规则，在曲面多边形上实现数值积分。
• 通过复用核心VEM框架，仅对积分与参数化处理进行微小修改，确保方法计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 虚拟元方法能否在保持最优收敛率的同时，扩展用于处理曲边界？
• RQ2 在高阶VEM中，使用直线边多边形逼近曲面区域时，几何逼近误差对收敛性有何影响？
• RQ3 如何构建并参数化曲线多边形单元，以保持VEM框架的稳定性和精度？
• RQ4 尽管增加了几何复杂性，所提出的曲线VEM是否仍保持标准VEM的计算简洁性？
• RQ5 该方法能否在内部存在曲界面（如多材料或界面问题）的情况下，实现最优收敛？

主要发现

• 所提出的曲线VEM在 k ≥ 2 时实现了最优收敛率，而采用直线边的标准VEM因几何逼近误差导致收敛性次优。
• 数值实验表明，曲线VEM在 H¹ 与 L² 范数下均保持最优收敛性，收敛阶次与理论预测一致。
• 该方法在Voronoi网格与均匀网格上均表现良好，展现出对不同网格类型与区域几何的鲁棒性。
• 对于具有内部曲界面的问题（如系数不连续的情况），当网格与界面精确匹配时，方法可实现最优收敛。
• 与等参数FEM相比，实现复杂度极低，无需参考单元或节点定位，仅需边界参数化即可——显著简化实现。
• 由于消除了几何一致性误差，该方法在高阶逼近下相比标准VEM具有更优的收敛速率。