[论文解读] The Voevodsky motive of a rank one semiabelian variety

Stephen Enright-Ward|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过构造半阿贝尔簇的动机与其中首条动机上同调群的对称幂之间的典范同构，计算了完美域上秩一半阿贝尔簇的伏伊多夫斯基动机。利用动机同伦理论中的工具，包括三角范畴中的对称幂与关联的正合三角形，作者证明此类半阿贝尔簇的动机由其阿爾巴內塞簇及其关联的首条动机上同调所决定，推广了伏伊多夫斯基动机范畴中具有有理系数时关于阿贝尔簇与环簇的已知结果。

ABSTRACT

Over a perfect field k, let G be an extension of an abelian variety by the multiplicative group $\G_m$. We compute the motive of G in Voevodsky's category of etale motivic complexes with rational coefficients. The result is a decomposition similar to the classical decomposition of the Chow motive of an abelian variety obtained by Deninger/Murre, Kuennemann, Shermenev and Scholl, and other authors.

研究动机与目标

• 确定完美域上秩一半阿贝尔簇的伏伊多夫斯基动机。
• 将关于阿贝尔簇与环簇动机的已知结果推广至更广泛的半阿贝尔簇类别。
• 在半阿贝尔簇的动机与其中首条动机上同调群的对称幂之间建立典范同构。
• 在伏伊多夫斯基动机范畴中，通过使用对称幂与层论构造，为计算交换群概形的动机建立一个框架。

提出的方法

• 利用幂等完备化与张量结构，在具有Q-系数的有效伏伊多夫斯基动机的三角范畴中构造对称幂。
• 将函子性对称幂构造应用于交换群概形G的首条动机上同调群M1(G)。
• 利用态射ϕG: MpG) → SympM1(G))将G的动机与其中首条动机上同调的对称幂联系起来。
• 在动机范畴中构造与动机对称幂相关的正合三角形，特别是与转移层rG及其对称幂相关联的正合三角形。
• 应用欧拉正合三角形，将半阿贝尔簇的动机与其中阿爾巴內塞簇及首条动机上同调群联系起来。
• 采用层论技术，包括具有转移的预层的层化，以描述Nisnevich与étale拓扑中层的对称幂。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用其动机上同调群来描述秩一半阿贝尔簇的伏伊多夫斯基动机？
• RQ2 半阿贝尔簇的动机与其首条动机上同调群的对称幂之间存在何种关系？
• RQ3 在具有Q-系数的伏伊多夫斯基动机三角范畴中，动机的对称幂行为如何？
• RQ4 阿爾巴內塞簇在确定半阿贝尔簇的动机中起何种作用？
• RQ5 能否通过涉及其首条动机上同调群对称幂的正合三角形来计算半阿贝尔簇的动机？

主要发现

• 秩一半阿贝尔簇G的伏伊多夫斯基动机同构于其首条动机上同调群的对称幂：MpG) ≅ SympM1(G))。
• 态射ϕG: MpG) → SympM1(G))是同构，从而在G的动机与M1(G)的对称幂之间建立了典范同构。
• 转移层rG的对称幂同构于预层F的对称幂的层化，即SymnpF) ≅ Symn_prep(F))。
• 为SympG)构造了一个正合三角形，将G的动机与其对称幂及首条动机上同调群联系起来。
• 欧拉正合三角形在动机范畴中提供了关键的结构关系，将半阿贝尔簇的动机与其中阿爾巴內塞簇及首条动机上同调群联系起来。
• 环簇的动机被计算为其中首条动机上同调群的对称幂，推广了阿贝尔簇的已知结果。