[论文解读] The volume of static black holes

William Ballik, Kayll Lake|arXiv (Cornell University)|May 7, 2010

Black Holes and Theoretical Physics被引用 2

一句话总结

本文为非退化静态黑洞和宇宙学视界引入了一个有限且不变的四维体积 $\pi_s$，其定义为由终止于视界的时空壳层 $s$ 所围成的时空体积。研究显示 $\mathcal{V}_s \propto \ln(\lambda)$，其中 $\lambda$ 为视界上测地线的仿射参数，从而通过 Parikh 体积与表面引力之比，提出了表面引力的新局部不变定义。

ABSTRACT

The invariant four-volume $\mathcal{V}$ of a complete black hole (the volume of the spacetime at and interior to the horizon) diverges. However, if one considers the black hole set up by the gravitational collapse of an object, and integrates only a finite time to the future of the collapse, the resultant volume is well defined and finite. In this paper we examine non-degenerate stationary black holes (and cosmological horizons) and find that $\mathcal{V}_{s} \varpropto \ln(\lambda)$ where $s$ is any shell that terminates on the horizon, $\lambda$ is the affine generator of the horizon and the constant of proportionality is the Parikh volume of $s$ divided by the surface gravity. This provides an alternative local and invariant definition of the surface gravity of a stationary black hole.

研究动机与目标

• 为避免完整四维体积发散，定义静态黑洞的有限且不变的时空体积。
• 建立一个编码视界内在性质（如表面引力）的几何量。
• 通过在终止于视界的有限壳层上进行体积积分，提供表面引力的局部且不变的表征。
• 将分析扩展至宇宙学视界，表明其具有类似的体积行为。

提出的方法

• 定义一个终止于事件视界或宇宙学视界的时空壳层 $s$。
• 利用时空的不变体积元，对由 $s$ 和视界所围区域进行四维体积 $\mathcal{V}_s$ 的积分。
• 利用视界法向测地线的仿射参数 $\lambda$ 来参数化体积的增长。
• 基于视界几何及体积元的行为，推导出 $\mathcal{V}_s \propto \ln(\lambda)$ 的渐近行为，适用于大 $\lambda$ 的情况。
• 将比例常数识别为壳层 $s$ 的 Parikh 体积除以表面引力 $\kappa$，从而得出 $\kappa$ 的新不变定义。
• 将该方法应用于非退化静态黑洞和宇宙学视界，验证了各类情况下的自洽性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为静态黑洞定义一个有限且不变的四维体积，以避免完整时空体积的发散？
• RQ2 终止于视界的有限壳层的体积如何随视界上仿射参数的变化而变化？
• RQ3 这种体积的标度关系能否提供一种新的、局部的且不变的表面引力定义？
• RQ4 宇宙学视界是否表现出与黑洞视界相同的体积行为？
• RQ5 体积-对数标度关系中的比例常数具有何种精确的几何与物理意义？

主要发现

• 终止于静态黑洞视界的壳层 $s$ 的有限四维体积 $\mathcal{V}_s$ 随视界生成元的仿射参数 $\lambda$ 呈对数增长：$\mathcal{V}_s \propto \ln(\lambda)$。
• 体积标度中的比例常数由壳层 $s$ 的 Parikh 体积除以表面引力 $\kappa$ 给出，从而提供 $\kappa$ 的新不变定义。
• 该表面引力的定义具有局部性、几何性，且不依赖于 $s$ 的选择，因此是一种稳健的不变量。
• 该结果对非退化静态黑洞和宇宙学视界均成立，表明存在一种普适的标度行为。
• 有限体积构造解决了完整时空四维体积的发散问题，同时保留了关于视界的关键物理信息。