[论文解读] The volume of the Schwarzschild black hole with respect to assorted time slicings

Tehani K. Finch|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Astrophysical Phenomena and Observations被引用 1

一句话总结

本文通过分析沿径向测地线自由下落的观测者所关联的坐标系，研究了不同时间切片下史瓦西黑洞的体积。论文引入了两类时间坐标族——LMP 与本征时间族，表明它们推广了平维尔-古尔斯特兰德时间，其交集即为 PG 时间，并将其与勒梅特坐标联系起来，揭示了黑洞内部存在不同但相关的几何结构。

ABSTRACT

We explore the connections between various coordinate systems associated with observers moving inwardly along radial geodesics in the Schwarzschild geometry. Painleve-Gullstrand (PG) time is adapted to freely falling observers dropped from rest from infinity; Lake-Martel-Poisson (LMP) time coordinates are adapted to observers who start at infinity with non-zero initial inward velocity; Gautreau-Hoffmann (GH) time coordinates are adapted to observers dropped from rest from a finite distance from the black hole horizon. We construct from these an LMP family and a proper-time family of time coordinates, the intersection of which is PG time. We demonstrate that these coordinate families are distinct, but related, one-parameter generalizations of PG time, and show linkage to Lemaitre coordinates as well.

研究动机与目标

• 分析沿径向自由下落的观测者所导出的不同时间切片下史瓦西黑洞体积的变化。
• 阐明平维尔-古尔斯特兰德、拉克-马尔泰勒-波阿松与高特罗-霍夫曼时间坐标之间的几何与物理差异。
• 构建一参数时间坐标族——LMP 族与本征时间族，以推广平维尔-古尔斯特兰德时间。
• 识别这两类时间族的交集为平维尔-古尔斯特兰德时间，建立统一的框架。
• 展示这些坐标系与勒梅特坐标之间的联系，深化对视界附近时空结构的理解。

提出的方法

• 推导适用于从无穷远处静止开始径向下落的观测者（平维尔-古尔斯特兰德）、从有限距离开始下落的观测者（高特罗-霍夫曼）以及具有非零初速度的观测者（拉克-马尔泰勒-波阿松）的时间坐标。
• 通过改变从无穷远处出发的观测者初始向内速度，构建一参数的 LMP 类时间坐标族。
• 基于具有不同初始条件的径向测地线观测者，构建一参数的本征时间坐标族。
• 分析 LMP 族与本征时间族的交集，结果唯一确定为平维尔-古尔斯特兰德时间坐标。
• 通过坐标变换与度量分析，建立这些时间族与勒梅特坐标之间的数学与几何联系。
• 利用史瓦西度量与径向测地线方程，推导时间切片行为及黑洞内部的体积积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同时间切片——平维尔-古尔斯特兰德、拉克-马尔泰勒-波阿松与高特罗-霍夫曼——在描述史瓦西黑洞体积方面有何异同？
• RQ2 在径向测地线观测者背景下，LMP 族与本征时间族之间存在何种几何关系？
• RQ3 LMP 族与本征时间族的交集如何唯一地导出平维尔-古尔斯特兰德时间坐标？
• RQ4 这些时间族如何与勒梅特坐标关联？这对黑洞视界附近的时空结构意味着什么？
• RQ5 这些虽不同但相互关联的时间切片对黑洞体积的物理诠释有何影响？

主要发现

• LMP 族与本征时间族是平维尔-古尔斯特兰德时间的一组不同但相关的单参数推广。
• LMP 族与本征时间族的交集唯一地确定了平维尔-古尔斯特兰德时间坐标，证实其在坐标结构中的特殊地位。
• 本文建立了所推导的时间族与勒梅特坐标之间直接的几何与坐标关联，丰富了对径向测地线观测者的理解。
• 基于不同初始条件（零速度与非零速度、无穷远与有限距离）的时间切片，对黑洞内部提供了物理上不同但数学上相连的描述。
• 分析结果表明，史瓦西黑洞的体积在不同时间切片下并非不变，其值取决于所选的观测者适配坐标。
• 结果表明，由于其独特的交集性质，平维尔-古尔斯特兰德时间在所有此类时间族构成的空间中自然地成为参考点。