[论文解读] The von Neumann algebra of the non-residually finite Baumslag group embeds into R^omega

Florin Rădulescu|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 12

一句话总结

本文引入了超线性群——R^ω 的酉群中的离散子群，且具有无限共轭类——并证明了 Baumslag 群是超线性的，从而得到一个可嵌入 R^ω 的非超有限型 II₁ 因子。这为 Connes 猜想提供了新的证据，即所有可分的 II₁ 因子均可嵌入 R^ω。

ABSTRACT

In this paper we analyze the structure of some sets of non-commutative moments of elements in a finite von Neumann algebra M. If the fundamental group of M is R_+\{0}, then the moment sets are convex, and if M is isomorphic to M tensor M, then the sets are closed under pointwise multiplication. We introduce a class of discrete groups that we call hyperlinear. These are the discrete subgroups (with infinite conjugacy classes) of the unitary group of R^omega. We prove that this class is strictly larger than the class of (i.c.c.) residually finite groups. In particular, it contains the Baumslag group . This leads to a previously unknown (non-hyperfinite) type II_1 factor that can be embedded in R^omega. This is positive evidence for Connes's conjecture that any separable II_1 factor can be embedded into R^omega.

研究动机与目标

• 定义并研究一类新群类，称为超线性群，以扩展剩余有限群类。
• 分析有限冯诺依曼代数中的非交换矩集及其凸性与闭包性质。
• 研究 II₁ 因子嵌入 R^ω 的问题，特别关注非超有限的例子。
• 为 Connes 的猜想提供证据，即每个可分的 II₁ 因子均可嵌入 R^ω。

提出的方法

• 将超线性群定义为 R^ω 的酉群中具有无限共轭类的离散子群。
• 分析有限冯诺依曼代数中元素的矩集，证明当代数的基本群为 R_+\{0} 时，其矩集具有凸性。
• 证明当代数同构于其张量平方（即 M ≅ M ⊗ M）时，矩集在逐点乘法下封闭。
• 通过在 R^ω 中构造适当的酉表示，证明非剩余有限的 Baumslag 群是超线性的。
• 利用 Baumslag 群的超线性性，构造一个新的嵌入 R^ω 的 II₁ 因子。
• 证明该因子是非超有限的，从而将可嵌入的 II₁ 因子类扩展至超有限情形之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 超线性群类是否严格大于（i.c.c.）剩余有限群类？
• RQ2 在基本群满足特定条件时，有限冯诺依曼代数中的非交换矩集是否表现出凸性？
• RQ3 是否存在一个非超有限型的 II₁ 因子可嵌入 R^ω？
• RQ4 Baumslag 群是否可作为 R^ω 的酉群中的超线性群实现？
• RQ5 此类非超有限可嵌入因子的存在是否支持 Connes 的嵌入猜想？

主要发现

• 超线性群类严格包含（i.c.c.）剩余有限群类。
• Baumslag 群是超线性的，因为它在 R^ω 中存在具有无限共轭类的酉表示。
• 非剩余有限的 Baumslag 群生成一个可嵌入 R^ω 的 II₁ 因子。
• 所构造的因子是非超有限的，证明了非超有限 II₁ 因子也可嵌入 R^ω。
• 若基本群为 R_+\{0}，则有限冯诺依曼代数中元素的矩集具有凸性。
• 当代数满足 M ≅ M ⊗ M 时，其矩集在逐点乘法下封闭。