[论文解读] The Voronoi formula on GL(3) with ramification

Zhou Fan|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文为具有水平 $N$ 的 GL(3) 自守形式建立了两个新的 Voronoi 公式，分别针对导子整除 $N$ 的加法特征和与 $N$ 互素的加法特征，将 Miller-Schmid 型公式扩展至非平凡化情形。关键贡献在于提供了一个自包含的证明，避免依赖共轭形式或 Atkin-Lehner 理论，明确给出了涉及 Kloosterman 和与 Gamma 因子的积分变换。

ABSTRACT

Firstly we prove that the Voronoi formula of Miller-Schmid type applies to automorphic forms on GL(3) for the congruence subgroup $Γ_0(N)$, when the conductor of the additive character in the formula is a multiple of $N$. As an application, we produce a result about the functional equation of $L$-function of the automorphic form on GL(3) twisted by Dirichlet characters. Secondly we prove that a similar formula applies to automorphic forms on GL(3) for the congruence subgroup $Γ_0(N)$, when the conductor of the additive character in the formula is coprime with $N$.

研究动机与目标

• 将 Miller-Schmid Voronoi 公式扩展至具有水平 $N$ 和分歧的 GL(3) 自守形式，特别是涵盖先前研究未覆盖的情形。
• 在加法特征的导子整除水平 $N$ 的情形下，建立 Voronoi 公式，此情形在分歧设置下此前未被处理。
• 推导当加法特征的导子与 $N$ 互素时的第二个 Voronoi 公式，完成与 GL(2) 情形中对偶性的类比。
• 在证明中消除对共轭形式和 Atkin-Lehner 理论的依赖，从而实现向更高水平形式的推广。
• 通过新公式，为被 Dirichlet 特征扭曲的 $L$-函数提供函数方程。

提出的方法

• 通过特定的幂零矩阵的不变性，推导出当 $N \mid c$ 时的 Voronoi 公式，避免使用共轭形式。
• 应用测试函数的积分变换，将傅里叶-Whittaker 系数的扭曲和与 Kloosterman 和联系起来。
• 利用 $\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})$ 上 Maass 形的古典理论以及 $\mathrm{GL}_3$ 的逆定理，建立函数方程。
• 采用双重 Dirichlet 级数与 Hecke 关系，将 $L$-函数及其扭曲形式联系起来，利用 Dirichlet 特征与 Gauss 和的性质。
• 通过 Dirichlet 特征的正交性和 Dirichlet 级数的唯一性定理，将两个表达式等价化，完成证明。
• 依赖 Goldfeld 和 Li (2007) 以及 Ichino-Templier (2014) 的技术，并将其适配至具有分歧的水平 $N$ 设置。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在加法特征的导子整除水平 $N$ 时，为 GL(3) 自守形式建立 Miller-Schmid 型 Voronoi 公式？
• RQ2 能否推导出当加法特征的导子与 $N$ 互素时的 GL(3) 形式的 Voronoi 公式，类比于 GL(2) 中的第二种情形？
• RQ3 能否在不使用共轭形式或 Atkin-Lehner 理论的前提下构造出该证明？
• RQ4 新公式如何影响被 Dirichlet 特征扭曲的 $L$-函数的函数方程？
• RQ5 在分歧情形下，Voronoi 公式中积分变换与 Kloosterman 和的精确结构是什么？

主要发现

• 证明了当 $N \mid c$ 时的新 Voronoi 公式，将和 $\sum_n A_F(n,m) \exp(2\pi i \bar{a}n/c) \omega(n)$ 表示为关于 $m_1, m_2$ 的和，涉及 Kloosterman 和与积分变换 $\Omega$。
• 公式 (1) 明确给出了当 $N \mid c$ 时的情形，右侧包含 $S(am, m_2; cm/m_1)$ 和 $\Omega( m_1^2 |m_2| / (c^3 |m|) )$。
• 当 $(c,N)=1$ 时，方程 (2) 建立了第二个 Voronoi 公式，涉及 $\tilde{F}$、$\psi(cm)$ 和 $\Omega_\pm( m_1^2 m_2 / (c^3 m N) )$。
• 该证明在主公式中避免使用共轭形式，与 Goldfeld-Li (2007) 不同，而是利用另一个幂零子群的不变性。
• 作为应用，推导出被 Dirichlet 特征扭曲的 $L$-函数的函数方程，将 $L$-函数与其扭曲形式联系起来。
• 通过正交性和唯一性定理，确立了两个双重 Dirichlet 级数表达式的等价性，从而确认了公式的正确性。