[论文解读] The Waring rank of the sum of pairwise coprime monomials

Enrico Carlini, Maria Virginia Catalisano+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2011

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文确定了任意由两两互素单项式之和构成的多项式的 Waring 秩，证明该秩在这些单项式上具有可加性。它为任意单项式的 Waring 秩提供了完整公式，并构造了最小的幂和分解，表明某些三元单项式的秩高于同次一般形式的秩。

ABSTRACT

In this paper we compute the Waring rank of any polynomial of the form F=M_1+...+M_r, where the M_i are pairwise coprime monomials, i.e., GCD(M_i,M_j)=1 for i not j. In particular, we determine the Waring rank of any monomial. As an application we show that certain monomials in three variables give examples of forms of rank higher than the generic form. As a further application we produce a sum of power decomposition for any form which is the sum of pairwise coprime monomials.

研究动机与目标

• 确定任意由两两互素单项式之和构成的多项式的 Waring 秩。
• 计算 n 个变量中任意单项式的 Waring 秩。
• 为这类多项式构造最小的幂和分解。
• 识别出某些单项式的 Waring 秩严格高于同次一般形式秩的情况。
• 证明 Waring 秩不依赖于基多项式环中的变量数量。

提出的方法

• 使用 Apolarity 引理，将 Waring 秩与包含在消去理想 $F^\perp$ 中的零维点理想相关联。
• 应用 Hilbert 函数与多重性理论，分析点的一维饱和理想。
• 当 $1 \leq a_1 \leq \cdots \leq a_n$ 时，将单项式 $x_1^{a_1} \cdots x_n^{a_n}$ 的 Waring 秩表征为 $\prod_{i=2}^n (a_i + 1)$。
• 通过选取单位根来定义线性形式，构造最小的幂和分解。
• 利用添加变量不会降低 Waring 秩的事实，确保其在多项式环之间的不变性。
• 利用消去理想 $M^\perp$ 的结构，识别出对应于分解的点集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 n 个变量中，两两互素单项式之和的 Waring 秩是多少？
• RQ2 对于任意次数和变量分布，能否以闭式计算单项式的 Waring 秩？
• RQ3 是否存在三元单项式的 Waring 秩严格高于同次一般形式的秩？
• RQ4 多项式的 Waring 秩在向多项式环中添加变量时是否保持不变？
• RQ5 能否显式构造出互素单项式之和的最小幂和分解？

主要发现

• 当 $n \geq 2$ 时，对于满足 $1 \leq a_1 \leq \cdots \leq a_n$ 的单项式 $x_1^{a_1} \cdots x_n^{a_n}$，其 Waring 秩为 $\prod_{i=2}^n (a_i + 1)$；当 $n = 1$ 时，其秩为 1。
• 对于两两互素单项式之和 $F = \sum_{i=1}^r M_i$，有 $\mathrm{rk}(F) = \sum_{i=1}^r \mathrm{rk}(M_i)$。
• 在三元情形下，某些单项式如 $x_1 x_2^{(d-1)/2} x_3^{(d-1)/2}$（当 $d$ 为奇数时）的秩渐近达到最大值 $d^2/4$，超过一般形式的秩 $d^2/6$。
• 当 $n \geq 4$ 时，任何单项式的 Waring 秩均不超过同次一般形式的秩，因为最大单项式秩与一般形式秩之比至多为 1。
• 通过独立地使用单位根分解每个单项式，可为任意两两互素单项式之和构造最小的幂和分解，总项数等于各单项式秩之和。
• 对于单项式 $M = x_1^{a_1} \cdots x_n^{a_n}$ 的分解，使用形如 $x_1 + \epsilon(2)x_2 + \cdots + \epsilon(n)x_n$ 的线性形式，其中 $\epsilon(i)$ 遍历 $(a_i+1)$ 次单位根，且系数 $\gamma_{\epsilon(2),\ldots,\epsilon(n)}$ 通过求解线性系统确定。